实变函数试题及答案

Answer 1

.006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题（A类）

注：A类试卷供统招学生使用
B类试卷供中外合作办学学生使用

题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 合分人 复查人
得分

一、填空：（共10分）

1．如果 则称 是自密集，如果 则称 是开集，如果 则称 是 ， 称为 的 .
2．设集合 可表示为一列开集 之交集： ，则 称为 .
若集合 可表示为一列闭集 之并集： ，则 称为 .
3．（Fatou引理）设 是可测集 上一列非负可测函数，则 .
4．设 为 上的有限函数，如果对于 的一切分划 ，使 成一有界数集，则称 为 上的 ，并称这个数集的上确界为 在 上的 ，记为 .

二、选择填空：（每题4分，共20分）

1．下列命题或表达式正确的是
A． B．
C．对于任意集合 ，有 或 D．
2．下列命题不正确的是
A．若点集 是无界集，则 B．若点集 是有界集，则
C．可数点集的外测度为零 D．康托集 的测度为零
3．下列表达式正确的是
A． B．
C． D．
4．下列命题不正确的是
A．开集、闭集都是可测集 B．可测集都是Borel集
C．外测度为零的集是可测集 D． 型集， 型集都是可测集
5．下列集合基数为 （可数集）的是
A．康托集 B．
C．设 是整数，
D．区间 中的无理数全体

三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理

四、（20分）设 ， 是 上 有限的可测函数，
证明：存在定义在 上的一列连续函数 ，使得
于

五、（10分）证明

六、（10分）设 是满足Lipschitz条件的函数，且 于 ，则 为增函数

七、（10分）设 是 上的有界变差函数，证明 也是 上的有界变差函数

Answer 2

楼上的题目怎么这么熟悉啊，哪里的试卷啊！~