如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一交

Question

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．（1）求A点的坐标及该抛物线的函数表达式；（2）求出△PBC的面积；（3）请问在对称轴x=2右侧的抛物线上是否存在点Q，使得以点A、B、C、Q所围成的四边形面积是△PBC的面积的9172？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，
∴B（3，0），C（0，3）．
又∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过x轴上的A，B两点，且对称轴是直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0）．
将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c，
得

a+b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝3

，解得

a＝1 b＝?4 c＝3

，
∴该抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3；

（2）如图，连结PB、PC．
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴顶点P的坐标为（2，-1）．
设抛物线的对称轴交直线y=-x+3于点M，
∵PM∥y轴，∴M（2，1），
∴S_△PBC=

1

2

?PM?|x_C-x_B|=

1

2

×（1+1）×3=3；

（3）由图可知，点Q应分为两种情况：在PB段或在BE段．
以点A、B、C、Q所围成的四边形面积=

91

72

S_△PBC=

91

72

×3=

91

24

．
设Q（m，m²-4m+3）．
①当点Q在PB段时，
∵S_{四边形ACBQ}=S_△ABC+S_△ABQ=

1

2

×2×3+

1

2

×2|y_Q|=3+|y_Q|，
∴|y_Q|=

91

24

-3=

19

24

，
∴|m²-4m+3|=

19

24

，即-m²+4m-3=

19

24

，
解得m₁=2+