已知二次函数y=ax+bx+c的图像与x轴交于A(1,0),B( 3,0)且过点C(0,-3)

Question

（1）求该函数的表达式和图像的顶点坐标： (2)请你写出一种平移后所得图像的顶点落在函数y=-x的图像上，并写出平移后所得图像相应的函数表达式。

Answer 1

1.

二次函数式为y=ax²+bx+c，将三点坐标代入函数式得：

a+b+c=0，

9a+3b+c=0，

c=-3，

解得：a=-1，b=4，c=-3，

所以二次函数为y=-x²+4x-3。

将二次函数表达式改为：y=-(x-2)²+1，可得顶点坐标为(2,1)。

2.

设x轴上平移m，y轴上平移n，可得平移后的二次函数为：

y=-(x-2+m)²+1+n，

可得顶点坐标为(2-m,1+n)。

此点在直线y=-x上，即：n+1=m-2，

所以m=n+3。

只要m,n的取值符合上述要求，平移后的二次函数的顶点一定在y=-x上。

相应的平移后的二次函数为：

y=-(x-2+n+3)²+1+n，

y=-(x+n+1)²+n+1，

令k=n+1，则可变式为：

y=-(x+k)²+k，k可取任意值。

附件为几何画板文件，拖动k点函数可平移。