一道数学几何解析题 在线等 高手帮帮忙
在直线L：X-Y+9=0上任意取一点M，过点M作F1（-3,0）F2（3,0）为焦点的椭圆。当M在什么位置时所作的椭圆最短，并求此椭圆方程
是长轴最短
解:椭圆越短,就是椭圆越扁,也就是离心率e越接近于1
e=c/a a 越小,e就越大,所以本题就是在直线上找一点M,使其到F1,F2点的距离最短.
做焦点F1或者F2关于直线L的对称点P,然后连接F2P或者F1P,所得的直线与L的交点到F1,F2
的距离之和最短.
1 设P点的坐标为(m,n)
PF的中点在直线L上
∴PF1的中点坐标(m-3)/2, n/2满足直线L的方程
即(m-3)/2-(n/2)+9=0
PF1直线与L垂直
∴该直线的斜率k=n/(m+3)=-1 (已知直线L的斜率是1)
这样得到两个方程
m+n=-3
m-n=-15
解得m=-9 , n=6
∴P点的坐标是(-9,6)
2 求直线PF2的方程
斜率k=(6-0)/(-9-3)=-1/2
y-0=-1/2(x-3)
整理得y=(-1/2)x+3/2
求此直线与L的交点A的坐标
y=(-1/2)x+3/2
x-y+9=0
联立求解
得x=-5, y=4
∴A点的坐标是(-5,4)
据题意有|AF1|+|AF2|=√[-5+3)^2+4^2]+√[(-5-3)^2+4^2]=6√5
∴a=3√5
c=3 则b=√[a^2-c^2]=6
∴此椭圆的方程是(x^2/45)+(y^2/36)=1
如有疑问,可以随时联系.
e=c/a a 越小,e就越大,所以本题就是在直线上找一点M,使其到F1,F2点的距离最短.
做焦点F1或者F2关于直线L的对称点P,然后连接F2P或者F1P,所得的直线与L的交点到F1,F2
的距离之和最短.
1 设P点的坐标为(m,n)
PF的中点在直线L上
∴PF1的中点坐标(m-3)/2, n/2满足直线L的方程
即(m-3)/2-(n/2)+9=0
PF1直线与L垂直
∴该直线的斜率k=n/(m+3)=-1 (已知直线L的斜率是1)
这样得到两个方程
m+n=-3
m-n=-15
解得m=-9 , n=6
∴P点的坐标是(-9,6)
2 求直线PF2的方程
斜率k=(6-0)/(-9-3)=-1/2
y-0=-1/2(x-3)
整理得y=(-1/2)x+3/2
求此直线与L的交点A的坐标
y=(-1/2)x+3/2
x-y+9=0
联立求解
得x=-5, y=4
∴A点的坐标是(-5,4)
据题意有|AF1|+|AF2|=√[-5+3)^2+4^2]+√[(-5-3)^2+4^2]=6√5
∴a=3√5
c=3 则b=√[a^2-c^2]=6
∴此椭圆的方程是(x^2/45)+(y^2/36)=1
如有疑问,可以随时联系.
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2010-12-24
椭圆最短就是椭圆最小
也就是说M到两焦点的距离最短
任取一个焦点，关于直线对称
连起来，取焦点
也就是说M到两焦点的距离最短
任取一个焦点，关于直线对称
连起来，取焦点
第2个回答 2010-12-25
没听说"椭圆最短"!
第3个回答 2010-12-25
根据椭圆定义，使其最小 以及该直线的位置，取其左焦点，设关于该直线对称点为P ，则易算出P(-9,6) 。则 P于其右焦点的连线于直线L：X-Y+9=0 的交点 坐标即 M ,得M(-5,4) ,再根据定义算出 a=3sqrt(5) ,即三倍的根号5 。解出b^2=36 ,
所以方程为 x^2/45 +y^2/36=1 .
所以方程为 x^2/45 +y^2/36=1 .
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