已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）．（1）求函数f（x）的定义域；...

Question

已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性； （3）若f（x）=lgg（x），判断函数g（x）在（O，1）内的单调性，并用定义证明．

Answer 1

解：（1）由函数f（x）=loga（1-x）+loga（1+x）（a＞0，a≠1），可得
1+x＞01-x＞0，解得-1＜x＜1，
故函数的定义域为
（-1，1）．
（2）由于函数f（x）=lg（1-x2），且定义域关于原点对称、满足f（-x）=f（x），故函数为偶函数．
（3）由于f（x）=lgg（x）=lg（1-x2），∴g（x）=1-x2，显然函数g（x）在（0，1）内单调递减．
证明：设x2＞x1＞0，则
x22＞x12＞0，故
0＜1-x22＜1-x12，故（1-x22）＜（1-x12），
即g（x2）＜g（x1），故函数g（x）在（0，1）上是减函数．