复合闭路定理是怎样证的?

Answer 1

探索复合闭路定理的奥秘，让我们跟随直观的图解深入理解。想象一个简单封闭的曲线C，它包围着一系列区域D，每个区域由曲线内部的封闭曲线界定。假设函数f在区域D内解析，且在曲线C上连续，我们的目标是揭示这个看似复杂的定理。

为了实现这一目标，我们巧妙地引入辅助线，将f分割成若干个互不相交的单连通区域。在这些区域内，函数f保持解析性，并且边界上连续。根据柯西积分定理，每个单连通区域的边界积分值为零，而所有区域边界积分的总和也必然为零。

然而，辅助线上的积分因为方向相反，它们的和恰好相互抵消，就像一场积分的“零和游戏”。因此，当我们从所有单连通区域的边界积分中减去辅助线的贡献，最终剩下的是原区域D的边界C上的积分，这个积分值等于零，即∮_C f(z)dz = 0。

关键的转折点在于，当我们考虑积分的方向时，对于D内部区域，积分方向为逆时针，而外部区域C则为顺时针。这个微妙的转换，当我们把两个方向的积分关系结合，就得到了f沿闭合路径的积分与函数在路径内部的积分的和的等价关系。

当这个特别的条件成立，即D仅包围一个区域且封闭曲线C是边界时，我们便得出了复合闭路定理的核心内容： f(z)沿闭合路径C的积分等于零，即∮_C f(z)dz = 0。这就是复合闭路定理的精髓，它展示了函数在封闭路径上的积分与内部积分之间的深刻联系。