高数问题

Question

用零点定理证明：
一、证明方程x的三次方+x-3＝0至少存在一个正实根。
二、证明方程x乘以2的x次方＝1至少有一个小于1的正根。
（以上两个问题最主要是想请教大家，如何找出那两个根的，不要直接告诉我根是什么，我最主要是想知道根是如何求出来的，谢谢大家了）

Answer 1

一、x^2+x-3＝0
f(x) = x^2+x-3
f(0) = 0 + 0 - 3 = -3 ＜ 0
f(2) = 4 + 2 - 3 = 3 ＞ 0
f(0) 与 f(2) 异号
根据零点定理，f(x) 在x=0和x=2之间至少存在一个零点
相当于x^2+x-3＝0在x=0和x=2之间至少存在一个正实根

二、x * 2^x＝1
f(x) = x * 2^x - 1
f(0) = 0 - 1 = -1 ＜ 0
f(1) = 1 * 2^1 -1 = 2 - 1 = 1 ＞ 0
f(0) 与 f(1) 异号
根据零点定理，f(x) 在x=0和x=1之间至少存在一个零点
相当于x * 2^x＝1至少有一个小于1的正根。

Answer 2

（1） 要证一成立，只需证方程的根x>0,
只需证 x在(0,a)内存在实根，
只需证 零点定理f(0)f(a)<0，
因为f(0)<0,只要存在f(a)>0
只需证f(x)=x^3+x-3在(0,a)单调递增，而且无上界
（2）要证二成立，只需根x在0和1的开区间里,
令f(x)=x2^x-1,再用零点定理证明就可以了