数学建模（四）---模拟退火算法

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数学建模（四）---模拟退火算法详解

模拟退火算法是一种概率优化方法，源自物理退火过程，旨在寻找到大型搜寻空间中的最优解。1953年，Metropolis等人通过蒙特卡罗模拟研究能量分布，奠定了算法基础。该算法在20世纪80年代发展起来，利用了热力学中冷却过程来逐渐逼近最低能量状态。

算法分为三个步骤：加温以增强粒子运动，等温过程确保系统自发趋向自由能最低，冷却降低能量并找到稳定状态。关键的Metropolis准则允许偶尔接受非最优解，这在解决复杂问题时有助于跳出局部最优。

冷却进度的控制包括初始温度、温度衰减方式和终止温度，以及迭代次数。模拟退火不同于群优化算法，它不需要初始化种群，且收敛速度相对较慢，需确保初始温度高、终止温度低，且退火过程要缓慢。

算法流程从初始化温度和解开始，通过随机扰动产生新解，计算代价函数变化，根据Metropolis准则决定是否接受。若满足终止条件，算法结束。状态表达需要将问题解转化为适应算法的形式，新解产生要求遍历解空间，收敛条件包括初始温度、平衡时间、终止温度和降温速度。

参数选择至关重要，如初始温度T应足够大但不过大，以保证粗略搜索；衰减函数控制降温速度；Markov链长度确保每阶段达到平衡；而终止准则应平衡广域搜索和局部优化。例如，使用Matlab的simulannealbnd函数可解决一元函数优化问题，如寻找y = sin(10*pi*x) / x在给定范围内的极值。