高一数学函数知识点

Answer 1

(一)、映射、函数、反函数

映射是一种特殊的对应，函数又是一种特殊的映射。具体来说，函数是定义在特定域上的对应法则，它将一个值域内的元素与一个唯一确定的值相联系。反函数则是在一个函数的基础上，将原函数的值域作为新的定义域，将原函数的输出值作为输入，以得到原输入值。若存在，反函数会使得原函数与反函数的复合函数等于恒等函数。

(二)、函数的解析式与定义域

函数及其定义域是不可分割的整体。正确写出函数的解析式，必须同时求出变量间的对应法则与函数的定义域。求定义域时，需结合实际问题的限制、解析式的结构特点来确定。例如，分式函数的分母不能为零，偶次根号内的表达式需非负，对数函数的真数需大于零等。

求函数解析式的方法多样，包括根据实际问题建立函数关系，待定系数法求解，复合函数求解以及利用等式构造求解等。

(三)、函数的值域与最值

函数的值域受到定义域和对应法则的影响。求值域的方法包括直接法、换元法、反函数法、配方法、不等式法、判别式法等。函数的最值与值域问题本质上相同，但提问角度不同，解答方式有所差异。

(四)、函数的奇偶性

函数的奇偶性定义为：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，则函数f(x)是奇函数或偶函数。奇偶函数的图象关于原点或y轴对称。奇偶性的推广包括图象关于直线x=a对称或点(a，0)为中心对称。

(五)、函数的单调性

单调函数是指在定义域内，对于任意两个值x1和x2，当x1大于x2时，函数值f(x1)大于或小于f(x2)的函数。单调性是与区间紧密相关的概念，需在定义域内讨论。复合函数的单调性由内函数和外函数的单调性决定。

(六)、函数的图象

函数图象是函数的直观表示，它可以帮助理解函数的性质。通过变换函数表达式，可以得到与原函数有特定关系的新图象，如平移、对称、翻折等。

【例题】已知定义在实数集上的函数f(x)满足条件f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，f(0)≠0。证明f(x)为偶函数，并找出函数f(x)是否为周期函数及其周期。

解答：令x=y=0，得到2f(0)=2f^2(0)，因此f(0)=1。令x=0，得到f(x)+f(-y)=2f(y)，说明f(x)为偶函数。通过替换x和y，可以证明f(x+c)=-f(x)，进而得出f(x)是周期函数，且2c是其一个周期。