求极限：lim{[x^(1/3)-a^(1/3)]/(x-a)^(1/3)}

Question

求极限：lim{[x^(1/3)-a^(1/3)]/(x-a)^(1/3)}, x趋近于a

Answer 1

原式=lim(x→a)⁡[x^(1/3) -a^(1/3）]/(x-a)^1/3=lim（x-a）/{[x^2/3+（ax）^1/3+a^2/3）](x-a)^1/3}=lim（x-a）^2/3/[x^2/3+(ax)^1/3+a^2/3] (x→a)。所以原式=0.
令解：由于分子分母在x趋近于a时都趋于0，是0/0未定型，用洛比达法则对分子分母分别求导然后易得原式等于0。

Answer 2

这是一个0/0的极限，可用洛比塔法则求解。
lim{[x^(1/3)-a^(1/3)]/(x-a)^(1/3)的分子分母同时求导，得
lim{x^(-2/3)/(x-a)^(-2/3)}=lim{(x-a)^(2/3)/x^(2/3)}=0