用数学归纳法证明：1+1/22+1/32+……+1/n2 ≥3n/2n+1

Answer 1

用数学归纳法证明：1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² ≥ 3n / (2n+1)
(1) 当 n=1时 左端 = 1 右端 = 3/3 = 1， 因为 1 ≮1 ，所以≥成立；
(2) 假设 当n = k时等式成立，即
1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² ≥ 3n / (2n+1) ①
则当n=k+1时，要证下式也成立
1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² + 1/(n+1)² ≥ 3(n+1) / (2(n+1)+1) = 3(n+1) / (2n+3)

1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² + 1/(n+1)²
= [1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² ] + 1/(n+1)²
≥ 3n / (2n+1) + 1/(n+1)² （这步是由①式而来)
下面只要证明 3(n+1) / (2n+3) - 3n / (2n+1) ≤ 1/(n+1)²
事实上，3(n+1) / (2n+3) - 3n / (2n+1) = 3 / [(2n+3) *(2n+1)]
= 3/(4*n^2+8*n+3) ≤ 1/(n+1)² ?????似乎不成立的
所以当n=k+1时等式也成立。
∴对于一切自然数 都有1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² ≥ 3n / (2n+1) 成立