计算二重积分。 ∫∫根下｛（1-x^2-y^2）/(1+x^2+y^2)｝dσ，D：x＾2+y＾2=1及坐标轴所围成的第一象限区域

Question

答案π*（π-2）/8 求过程》》。。。。。。

Answer 1

化为极坐标
原式=∫[0->π/2]dθ∫[0->1] [(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) rdr
=π/2∫[0->1] (1/2)[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) dr²
第二类换元法
令t=[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2),解出r²=(1-t²)/(t²+1),dr²/dt=[(1-t²)/(t²+1)]'=-4t/(t²+1)²
r²∈[0,1] -> t∈[1,0]
=π/4∫[1->0] -4t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] (t²+1)/(t²+1)²dt - ∫[0->1] 1/(t²+1)²dt
=π [(arctan1-arctan0) - (t/(1+t^2)+arctant)/2 | (0->1) ]
=π [π/4-(1/2+π/4-0-0)/2]
=π [π/8 - 1/4]
=π*（π-2）/8

其中用到了：
∫1/(1+t^2)^2dt=(t/(1+t^2)+arctant)/2+C
资料请见http://zhidao.baidu.com/question/268762553.html

过程有点复杂，可能还有更好的方法我没有找到