高分求解一道高中物理竞赛题

Question

如下图所示， 一个可以看做质点的小球被长度R=4m的轻绳栓住，处于水平桌面上，绕O点做匀速圆周运动，初速度V = 4m/s , 某一时刻，球处于最下方，之后运动过半个圆周在最上方时，有一个横截面圆半径为 π 分之 一米 的圆柱体阻挡其运动，圆柱体截面与OB相切于C点，C为OB中点，求该球从最下方运动到与圆柱体相撞的时间是多少？
忽略一切摩擦和能量损失 另外是水平面，不是竖直平面

Answer 1

圆柱的横截面半径π 分之 一米 所以得到圆柱横截面周长为2m
CB之间的距离为2m 由此得到最终小球会打到C点，且线速度方向不断变化，从B点开始最后到C点线速度方向改变了360°
角速度ω=V/R=1rad/s
从达到图示位置OCB位置开始，绕圆柱体转动，但角速度大小一直不变，最后从B到C一共角度转过了2π
所以时间T=2π/ω=2π(s)

竞赛题中还是有些不难的题，只是题型设计有些巧妙

追问

额，不好意思，但是答案貌似不是这个啊， 因为球从B开始运动到打到C点，是一个半径不断减小的螺线，我们知道，如果这不是一个圆柱体而是一个钉子，那么线速度肯定是不会变的，所以这个也同理，在螺线上运动的线速度不变，而是角速度不断变大，周期不断缩短。 其实我觉得关键就是求那个螺线长度，不知道怎么求，希望解答下

追答

额，不好意思，我看错了，呵呵，你们学了积分没？

追问

虽然没学，但是一般物理上的积分运算我还是可以的吧，没关系，您就写个过程吧，答案我自己去算，如果没什么问题算出来就是差不多的 分就送您了~ 主要是明天竞赛课老师要过程的~ 3Q啊

追答

假设从OCB开始转过了θ角度，则，此时圆周运动的半径R=2-θ/π（圆心在圆柱上，随便找一个角度都可以），最终的结果是转动了2π

T=θR/V=θ(2-θ/π)/V

接下来就用积分公式T=∫θ(2-θ/π)/V（θ是0~2π弄了半天这个积分公式还是打不出来，汗）

Answer 2

呵呵，由于楼上要高考，所以我们高二放假。以后建议这种问题就不要放知道上问了吧。我qq:736117096。如果有时间，我还是很乐意帮助新人的。
这道题目，分为两个过程。首先是一个半圆，易得其时间为π。
对剩下的过程，显然在这里建极坐标系最为方便（相关内容参看舒老的力学），可直接得出转过的角度与时间的关系为θ=根号下2vt/r，代入θ=1/(1/π),r=1/π,t=π/8，所以T总=9/8π

Answer 3

小球最后不是打到C点，那位仁兄做错了。我给你分析下过程。小球从A向右出发，（你没说B是OA中点，但由图可得出）C与圆柱相切，小球运动到使细绳与圆柱另一侧相切，切点设为D，从D开始，小球开始绕圆柱体运动，每秒小球的角速度都在变，从D开始就要用微积分求和的方法算。因OC=1m，则OD=1m，所以DA=3m，因圆柱截面周长为2m。则小球绕圆柱1.5个周长后相撞，所以最后的相撞点在与D处于同一直径的圆柱上另一点。从C到D的时间好算，后面的微积分不好整。你先算下，我马上要高考，没时间去研究了，给你个Q:1368754551