一阶微分方程的通解

Question

y'+2xy=x的通解是什么，
具体步骤。为什么我求通解的答案不同算法可以有很多个，我不知道什么时候对什么时候错，有没有什么窍门。

Answer 1

1、对于一阶齐次线性微分方程：

其通解形式为：

其中C为常数，由函数的初始条件决定。

2、对于一阶非齐次线性微分方程：

其对应齐次方程:

解为：

令C=u(x)，得:

带入原方程得：

对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：

扩展资料

主要思想：

数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。 

利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法。

参考资料来源：百度百科-一阶线性微分方程

Answer 2

举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3

解：

∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³ 

(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx 

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)²] 

y/(x-2)=(x-2)² C   (C是积分常数)         

y=(x-2)³ C(x-2)      

∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。

扩展资料：

一阶线性微分方程解法 

一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 

先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0

解得y=Ce－∫P(x)dx,再令y=ue－∫P(x)dx代入原方程 

解得u=∫Q(x) e∫P(x)dxdx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C］ 

即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx

∫Q(x)e∫P(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解

参考资料来源：百度百科一阶线性微分方程

Answer 3

解：

∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³ 

(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx 

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)²] 

y/(x-2)=(x-2)² C   (C是积分常数)         

y=(x-2)³ C(x-2)      

∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。

扩展资料

一阶微分方程的求法：

1、从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程。

2、解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数。

3、把已求得的函数代入原方程组，一般来说。不必经过积分就可求出其余的未知函数。

其中一阶微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)。研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，它的通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。

Answer 4

用分离系数法
y'+2xy=x
dy/dx+2xy=x
dy/dx=-x(2y-1)
dy/(2y-1)=-xdx
两边积分
1/2ln(2y-1)=-1/2x^2+C1
ln(2y-1)=-x^2+C2 其中C2=2C1
2y-1=e^(-x^2+C2)
y=1/2e^(-x^2+C2)+1/2
y=e^(-x^2+C3)+1/2 其中C3=C2-ln2

你用不同方法得到的结果可能都对，因为其中的常熟C对结果是有影响的，我在上面已经说明了

追问

dy/(2y-1)=-xdx
继续化简的结果是什么~要得出y=````的那种形式

追答

我上面不是已经算完了吗

追问

不好意思，刚没看到~谢谢你哦~

Answer 5

就跟一次方程一样很简单