点乘的几何意义是什么?

Answer 1

1、点乘（内积）的结果是一个标量，它表示两个向量在方向上的相似度或者夹角的余弦值。几何上，点乘可以被理解为一个向量在另一个向量方向上的投影与另一个向量的模长的乘积。
2、点乘运算遵循交换律、分配律和数乘结合律。此外，点乘有一个关键的公式，即余弦定理：\(a \cdot b = |a||b|\cos\theta\)，这里\(\theta\)是两个向量之间的夹角。
3、叉乘（外积）的结果是一个向量，它的方向垂直于由两个原始向量所确定的平面。叉乘的几何意义在于，它等于以这两个向量为边所构成的平行四边形的面积。
4、叉乘不满足交换律，但满足反交换律：\(a \times b = -b \times a\)。它同样满足分配律和数乘结合律。叉乘的一个重要公式是正弦定理：\(|a \times b| = |a||b|\sin\theta\)，其中\(\theta\)是两个向量之间的夹角。
5、点乘与叉乘之间存在一个关系式，即拉格朗日恒等式：\(|a \times b|^2 + (a \cdot b)^2 = |a|^2\)。