第一数学归纳法与第二数学归纳法

Answer 1

第一数学归纳法原理：设一正整数集合[公式] ， [公式] ，P(n)为与n有关的命题

命题P(n)满足：

（1）当n=1时，P(1)成立

（2）假设命题P(n)成立，若可推出命题P(n+1)成立，即P(n)→P(n+1)为真

那么，命题P(n)对于一切正整数n都成立

理解：如果假设(2)成立，即：命题P(n)成立，推出命题P(n+1)成立（n为任意正整数，表明该推导数量的无穷性）。根据此假设，可以得到P(n)→P(n+1)为真，亦即有：P(1)→P(2)，P(2)→P(3)，P(3)→P(4)，...，P(n)→P(n+1)为真，则得P(n)成立。

第二数学归纳法原理（强归纳法原理）：设一正整数集合[公式] ， [公式] ，P(n)为与n有关的命题

命题P(n)满足：

（1）当n=1时，P(1)成立

（2）假设对于正整数k，当n＜k，命题P(n)成立时，命题P(n=k)也成立

那么，命题P(n)对于一切正整数都成立

理解：如果假设(2)成立，即：P(1)，P(2)，...，P(k-1)成立(k为任意正整数，表明成立命题数量的无穷性），可以推出P(k)成立。亦即：P(1)，P(2)，...，P(k-1)→P(k)的推导为真（P(1)，P(2)，...，P(k-1)为真），此时P(n)对一切正整数成立。一般情况下P(k)不复杂时，无需把P(1)，P(2)，...，P(k-1)成立 这些条件全用上，部分使用即可。例如只需P(k-2)，P(k-1)即可推出P(k)。

以多米诺骨牌为例的话：

第一归纳法：第一个牌会倒，且有规则：前一张牌倒，后一张牌必定会倒。牌会一直倒下去（成立下去）

第二归纳法：前一批牌会倒，且有规则：前一批牌倒，前一批牌紧接着的下一张牌必定会倒。牌会一直倒下去（成立下去）

显然第二（强归纳法）归纳法与第一归纳法相比，是把一批牌看做成一张牌，初始条件由一张牌，变成了一批牌。可能这就是它强的原因吧

————手动分割线 更新于 2023.6.8 23:15————

关于第二数学归纳法的补充：

补充理解：根据第二数学归纳法（2），当假设P(1)，P(2)，...，P(k-1)成立时，能证明P(k)成立，那么命题P(n)得证。即要证P(1)，P(2)，…，P(k-2)，P(k-1)→P(k)（当命题P(n)不是很复杂时，箭头右边并不是每一项都要参与到证明中，条件很多但你可以不用嘛，因为有一部分就够了，足以证明P(n)）。显然根据（2），k>=2。与最开始我写的理解相比，这是倒过来理解，要想证明…就要…。

关键的来了：第二数学归纳法中，初始条件是P(1)成立，为什么很多证明题里都会出现验证P(2)也成立的情况呢？大家想想是不是在证明的时候，是用了这样的式子来证明P(k)的：P(k-2)，P(k-1)→P(k)，不知道大家看出来没有，这里的k是>=3，与定理里隐藏的条件k>=2不相符合，忽略了k=2的情况，也就是你用这个定理，但是不遵循隐藏的条件，那肯定是不对的，所以要补上对P(2)成立的验证。

显然当你用P(k-3)，P(k-2)，P(k-1)→P(k)这样的式子来推导P(k)成立时，此时k>=4，也必须要验证P(3)是否成立。

关于大家对第二数学归纳法的疑问回复，以上。