约瑟夫问题：M个人围成一圈，从第一个人开始依次从1到N循环报数，每当报数为N时此人出圈，直到剩一人为止

Question

请按退出次序输出出圈人原来的编号以及留在圈中的最后一个人原来的编号。请用TC编程，非常感谢！

Answer 1

此题可用数学方法求解。

设有n个人（编号0~(n-1)），从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数    （用数学方法解的时候需要注意应当从0开始编号，因为取余会取到0解。）

实质是一个递推，n个人中最终留下来的序号与n-1个人中留下来的人的序号有一个递推关系式。

假设除去第k个人，则

0, 1, 2, 3, ..., k-2, k-1, k, ..., n-1　         // 原始序列　(1)

0, 1, 2, 3, ..., k-2,      , k, ..., n-1　　      // 除去第k人，即除去序号为k-1的人   (2)

k, k+1, ..., n-1,    0,    1,        ..., k-2　　// 以序号k为起始，从k开始报0  (3)

0, 1,     ..., n-k-1, n-k, n-k+1, ..., n-2　  // 作编号转换，此时队列为n-1人　 (4)

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，注意(1)式和(4)式，是同一个问题，不同的仅仅是人数。比较(4)和(3)，不难看出，0+k=k, 1+k=k+1, ... ，(3)式中'0'后面的数字，（(n-3)+k）%n=k-3,（(n-2)+k）%n=k-2, 对于(3)式中'0'前面的数字，由于比n小，也可看作(0+k)%n=k,  (1+k)%n=k+1,  故可得出规律：

设(3)中某一数为x' , (4)中对应的数为x，则有：x'=(x+k)%n.

设x为最终留下的人序号时，队列只剩下1人时，显然x=0; 此时可向前回溯至2人时x对应的序号，3人时x对应的序号……直至n人时x的序号，即为所求。

递归法表示如下：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int M,N,s=0;
    scanf("%d%d",&M,&N);
    for (int i=2;i<=M;++i)
        s=(s+N)%i;
    printf("%d\n",s+1);
    return 0;
}

Answer 2

#include "stdio.h"
#define M 65

int main()
{
int i,k,n,m,count;
int name[M];
scanf ("%d %d",&n,&m);// 有n个人
for (i = 0;i < n;i ++)//编号
{
name[i]= i +1;
}
k = 0;
for (i = 0;i < n;i ++)
{
count = 0;
while (count < m) //每到m个人就输入
{
while (name[k] == 0)
k = (k + 1)%n;
count ++;
k = (k + 1)%n;
}
k --;
if (k < 0)
k = n-1;
printf ("%d\n",name[k]);
name[k] = 0;
}
return 0;
}
如果哪里不明白，就提出来啊

Answer 3

#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main()
{
int n, m, i, s = 0;
printf ("M N = ");
scanf("%d%d", &m, &n);
for (i = 2; i <= m; i++)
{
s = (s + n) % i;
}
printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
return 1;
}