数学三大难题
在20世纪八十年代初,我们这代“知青”为了多学点知识,纷纷进“五大”学习,然后又进“成人自考”深造。我在“西南财经大学”攻读经济专业时,一次高等数学的面授课上,一位德高望重的导师给我们讲到:人类文明的进步,与数学的发展成正比;人类数学的发展,中国亦有卓越的贡献,古有祖冲之,今有华罗庚。21世纪,还有在坐的各位及全国各地的有志之青年。
导师接着讲到:古代数学史上有世界三大难题(倍立方体、方圆、三分角)。近代数学史又有第五公设、费马大定理、任一大偶数表两素之和。这些都已为前人攻破的攻破,将突破的将突破。现代发达国家的数学家们又在钻研什么呢?21世纪数学精英们又攻什么呢?
这位导师继续讲了现代数学上的三大难题:一是有20棵树,每行四棵,古罗马、古希腊在16世纪就完成了16行的排列,18世纪高斯猜想能排18行,19世纪美国劳埃德完成此猜想,20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录,跨入21世纪还会有新突破吗?
二是相邻两国不同着一色,任一地图着色最少可用几色完成着色?五色已证出,四色至今仅美国阿佩尔和哈肯,罗列了很多图谱,通过电子计算机逐一理论完成,全面的逻辑的人工推理证明尚待有志者。
三是任三人中可证必有两人同性,任六人中必有三人互相认识或互相不认识(认识用红线连,不认识用蓝线连,即六质点中二色线连必出现单色三角形)。近年来国际奥林匹克数学竞赛也围绕此类热点题型遴选后备攻坚力量。(如十七个科学家讨论三课题,两两讨论一个题,证至少三个科学家讨论同一题;十八个点用两色连必出现单色四边形;两色连六个点必出现两个单色三角形,等等。)单色三角形研究中,尤以不出现单色三角形的极值图谱的研究更是难点中之难点,热门中之热门。
归纳为20棵树植树问题,四色绘地图问题,单色三角形问题。通称现代数学三大难题。
当年的大学生一学期中能亲聆导师教诲不到十次。数学三大难题是我们学子在课堂上最难忘最精彩的一课。光阴荏苒,时光如白驹过隙,弹指之间,今已是21世纪第一个年代了(以区别下一年代—— 一十年代),在此将我在大学学习中最精彩最难忘的一课奉献,以飨不同层次、不同爱好的读者。
“千僖难题”之一:P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题
在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数13,717,421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克(StephenCook)于1971年陈述的。
“千僖难题”之二: 霍奇(Hodge)猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导至一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
“千僖难题”之三: 庞加莱(Poincare)猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。
“千僖难题”之四: 黎曼(Riemann)假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
“千僖难题”之五: 杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
“千僖难题”之六: 纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。
“千僖难题”之七: 贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解),相反,如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
温馨提示:内容为网友见解,仅供参考
20道逻辑思维题:给你的大脑做一次深度保养!
15. 数学题解谜: 甲、乙、丙三人中,丙做对了,甲说对了。16. 最后的运动员: 在50名运动员中,最后剩下32号。17. 飞机加油问题: 至少需要3架飞机,通过接力让一架飞机绕地球一圈。18. 及格人数: 在100人中,至少70人及格,答对3道或更多题目。19. 牌的秘密: 最后揭晓的牌是方块5,通过逻...
30道有趣又烧脑的逻辑题
8. 金币的分配策略: 五个强盗如何分配金币才能保全自身并最大化收益,这是一道考验智慧与策略的难题。9. 硬币的魔术: 仅通过移动硬币,如何确保所有的硬币头朝右,这需要精密的逻辑和操作技巧。10. 赛马的挑战: 选择最快的五匹马,考虑最不乐观的情况,你需要最少的比赛次数来决定冠军,展现你的决策...
这6道小学智力题,难倒不少家长,你会解答吗?
这种题目类型看似简单,其实隐藏着是对学生们的脑筋急转弯和逻辑思维的应变能力考验,如此具有高智商的逻辑思维,在小学生面前都比较容易给出答案,而对于一些资历越高的学生却会把题目想得越复杂性,最终还被自己的脑思维混乱,而给不出答案来,那么对于这道智力题又略有脑筋急转弯的题目,正确答案是多少...
四年级数学思维训练题
(8) 55 这些题目不仅能够锻炼学生的数学逻辑思维,还能够激发他们对数学的兴趣。通过解决这些问题,学生能够更好地理解和应用数学概念。
10道有趣的数学题,全部答对的都是天才
第十题:硬币游戏<\/:用14个硬币和5x5方格,最少需要几步才能仅剩一枚硬币?这考验策略和计算。答案:13步<\/,展现你的逻辑思维和步骤规划。以上题目,从基础到进阶,如果你能全部答对,那无疑是数学界的佼佼者。继续挑战,让我们一起探索数学的无尽乐趣吧!更多精彩数学题,尽在【有趣数学题】题集...
最强思维逻辑难题大全:世界十大逻辑难题详细介绍
世界十大逻辑难题 1.电车难题 2.空地上的奶牛 3.爱因斯坦的光线 4.卢克莱修之矛 5.特修斯之船 6.伽利略的重力实验 7.猴子和打字机 8.薛定锷的猫 9.中文房间 10.缸中的大脑 十、缸中的大脑 缸中的大脑这是一个富有想象力的题目,假如你大脑被取出来放在某个维持生命的液体中大脑插上了电极...
数学10道烧脑题及答案你能答对几道
数学难题往往能够锻炼我们的思维能力,下面为大家准备了10道富有挑战性的数学题目,看看你能答对多少道。1. 图形变换挑战:左图中的三角形,如何通过移动其中的三个圆圈,得到右图中的三角形?2. 逻辑推理题:通过你的选择帮你分析你的智商在哪个层级!3. 经典数独题:很经典的题型之一,难倒了无数人...
逻辑思维的智力题5道带答案分析
逻辑思维的智力题答案: 1.这道题看似数学计算题,其实是逻辑思维题。答案是没有一只羊 2.小明第一次问的时候没有人知道,说明任何两个数都是不同的。问第二次的时候,前两个人还不知道,说明没有一个数是 其它 数的两倍。于是得到:1.每个数大于0;2.两两不等;3.这三个数中,每个数...
十大逻辑思维难题都有哪些?
十大逻辑思维难题的具体内容如下:1、电车难题The Trolley Problem “电车难题”要数伦理学领域最为知名的思想实验之一,其内容大致是:一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来,并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是,你可以拉一个拉杆,让电车开到另一条轨道上。但是还有一个...
有什么有趣又烧脑的数学题?
数学中有很多有趣又烧脑的题目,它们不仅考验解题者的逻辑思维和创造力,还能提供深刻的见解和乐趣。以下是几个例子:无限序列问题:考虑这样一个数列:1 - 1\/2 + 1\/3 - 1\/4 + 1\/5 - ... 这个数列是交错级数,它的项是正负交替的倒数,即第n项是(-1)^(n+1) \/ n。这个数列被称为...