如何理解抽象函数

Answer 1

一般形式为y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。
补充： 幂函数：f(xy)=f(x)f(y) 正比例函数f(x+y)=f(x)+f(y) 对数函数f(x)+f(y)=f(x)f(y) 三角函数f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 指数函数f(x+y)=f(x)f(y) 抽象函数常常与周期函数结合，如： f(x)=-f(x+2) f(x)=f(x+4)
2解抽象函数题，通常要用赋值法，而且高考数学中，常常要先求F（0） F（1） 抽象函数的经典题目！
编辑本段解法精选
特殊值法
一．特殊值法:在处理选择题时有意想不到的效果。 例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，当x<0时，, f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上 ( ) A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( b) 分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)，与此类似的还有 特殊函数 抽象函数 f (x)= x f (xy) =f (x) f (y) f (x)= 0 f (x+y)= f (xy) f (x)= 0 f (xy) = f (x)+f (y) f (x)= tanx f(x+y)= 此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0) ∵当x <0时f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。
赋值法
二．赋值法．根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而来解决问题。 例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法 解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①, 再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。 得 f (x)是一个奇函数，图像关于原点对称 。 ∵当x <0时，f (x) >0， 即f (x)在R上是一个减函数，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。
图像性质解法
三．利用函数的图象性质来解题： 抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。 抽象函数解题时常要用到以下结论： 定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x=(a+b)/2 对称。 定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，周期为a-b。 例4 f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。 分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。 由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证f (x) = f (2 + x)。 证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。 ∴f (x)是一个周期函数。 例5 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围 分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。 解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得 ，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1≤m< 。
编辑本段怎样学好抽象函数
函数其实在初中的时候就已经讲过了，当然那时候是最简单的一次和二次，而整个高中函数最富有戏剧性的函数实际上也就是二次函数，学好函数总的策略是掌握每一种函数的性质，这样就可以运用自如，有备无患了。函数的性质一般有单调性、奇偶性、有界性及周期性。能够完美体现上述性质的函数在中学阶段只有三角函数中的正弦函数和余弦函数。以上是函数的基本性质，通过奇偶性可以衍生出对称性，这样就和二次函数联系起来了，事实上，二次函数可以和以上所有性质联系起来，任何函数都可以，因为这些性质就是在大量的基本函数中抽象出来为了更加形象地描述它们的。我相信这点你定是深有体会。剩下的幂函数、指数函数对数函数等等本身并不复杂，只要抓住其性质，例如对数函数的定义域，指数函数的值域等等，出题人可以大做文章，答题人可以纵横捭阖畅游其中。性质是函数最本质的东西，世界的本质就是简单，复杂只是起外在的表现形式，函数能够很好到体现这点。另外，高三还要学导数，学好了可以帮助理解以前的东西，学不好还会扰乱人的思路，所以，我建议你去预习，因为预习绝对不会使你落后，我最核心的学习经验就是预习，这种方法使我的数学远远领先其它同学而立于不败之地。 综上，在学习函数的过程中，你要抓住其性质，而反馈到学习方法上你就应该预习（有能力的话最好能够自学） 。函数是高考重点中的重点，也就是高考的命题当中确实含有以函数为纲的思想，怎样学好函数主要掌握以下几点。第一，要知道高考考查的六个重点函数，一，指数函数；二，对数函数；三，三角函数；四，二次函数；五，最减分次函数；六，双勾函数Y＝X＋A/X(A＞0)。要掌握函数的性质和图象，利用这些函数的性质和图象来解题。另外，要总结函数的解题方法，函数的解题方法主要有三种，第一种方法是基本函数法，就是利用基本函数的性质和图象来解题；第二种方法是构造辅助函数；第三种方法是函数建模法。要特别突出函数与方程的思想，数形结合思想。 (如果刚开始学抽象函数，只须掌握赋值法.) 高一函数解题思路 1，首先把握定义和题目的叙述 2，记住一次函数与坐标轴的交点坐标，必须很熟 3，掌握问题的叙述，通法通则是连立方程（当然是有交点的情况） 一般我们解题时 可以先考虑我们学习过的与本题目相似的函数,比如本题可以考虑对数函数,帮助我们解决问题,猜测出结论再做,总要方便一些的

Answer 2

解读抽象函数
⑴ 对于f(x)而言(x)的范围=f(x)的定义域
⑵ f:表示同一种运算方式:f(x)相当于f[g(x)],(x)与[g(x)]的范围相同
⑶ 对于f(x+1)而言,(x+1)的范围不等于f(x+1)的定义域
⑷ 对于f(x)与f(x+1):其中(x)与(x+1)的范围相等,{对于两个运算法则相同的函数,其( )中代数式的范围相同}
1. 已知函数f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域:
若f(x)定义域为:a<x<b
则f[g(x)]的[g(x)]的范围是:a<g(x)<b ①
将①式进行求解,所得x的范围即为f[g(x)]的定义域
2. 已知函数f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域:
若g(x)=x-m且f(x-m)的定义域为(a,b)
又因为:⑴
所以x-m的范围是:(a-m,b-m)