趣味的数学题 有这样一道数学题，请你数学公式算出结果. （38+1）X（38÷2）+（37+1）X（37÷2）+（36+1）

Question

趣味的数学题
有这样一道数学题，请你数学公式算出结果.
（38+1）X（38÷2）+（37+1）X（37÷2）+（36+1）X（36÷2）+（35+1）X（35÷2）……（ 4+1）X（ 4÷2）+
（ 3+1）X（ 3÷2）+（ 2+1）X（ 2÷2）+（ 1+1）X（ 1÷2）=？？？
分开算是：
（38+1）X（38÷2）=39X19 =741
（37+1）X（37÷2）=38X18.5=703
（36+1）X（36÷2）=37X18 =666
（35+1）X（35÷2）=36X17.5=630
…………
（ 4+1）X（ 4÷2）= 5X2 =10
（ 3+1）X（ 3÷2）= 4X1.5 =6
（ 2+1）X（ 2÷2）= 3X1 =3
（ 1+1）X（ 1÷2）= 2X0.5 =1
然后把后面的结果相加就是得数，这样算的话太古板，请大家找出规律，用数学公式算出结果。

Answer 1

第一步：1+2+3+4+......+38=(1+38)*38/2=741
第二步：利用平方和公式n(n+1)(2n+1)/6 即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方) 1^2+2^2+3^2+…+38^2=38*（38+1）*（2*38+1）/6=19019
第三步：将第一步和第二步的结果相加然后除以2:（741+19019）/2=19760/2=9880
PS:解释一下为什么这样做。首先俺楼主所写。分开算的每项都除以2了。所以看把每项的除以2拿出来最后再算。也就变成这样了
（38+1）X38
（37+1）X 37
（36+1）X 36
（35+1）X 35
…………
（ 4+1）X4
（ 3+1）X3
（ 2+1）X2
（ 1+1）X1
然后把前项的1提出来。也就变成1+2+3.....+38+1x1+2x2+3x3+....+38x38.从而就有了最上面的算法。

追问

平方和公式，这个公式是高中里的还是大学里学的？
我我只读了初中。没有学过。呵呵。。。答案是对的。
不过平常的人还真理解不了，像我。。。。

追答

平方和公式是算课外知识吧。证明比较麻烦。详细内容百度百科有 ，搜索平方和公式可以有证明方法。应该算高中的内容了。初中的话。我写这个应该是最简单的了。就用了平方和公式。以及递增数列的求和。
平方和公式的初中证明方法补充一下。比较麻烦。估计楼主数学不怎么好。看起来会吃力。但是证明过程是绝对没问题的。（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ： 　　
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1, 　
　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 　　
.............................. 　
　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 　
　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1. 　　
把这n个等式两端分别相加，
得： 　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n, 　
　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2, 　
　代入上式得： 　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n 　　
整理后得： 　　1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

123568

Answer 3

好难啊

Answer 4

通项公式a[n]=n*(n+1)/2
a[n]=a[n-1]+n=a[1]+(2+3+4+...n)=a[1]+n*(n+1)/2-1
s[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]
=n*a[1]+(n-1)*2+(n-2)*3+...+2*(n-1)+1*n
其他的还在考虑

追问

好难理解这个公式是不是比我出的数学题还要难。。。。？？？？？？

Answer 5

首先项an=n(n-1),若学过排列组合的话就简单了，即,an=Cn2

Answer 6

a[n]=n*(n+1)=n^2+n
s(n)]=+4+9+16 +...+n^2 +1+2...+n
=1/6*n*(n+1)(2n+1)+n(n+1)/2
= 19019+741
=19760
除以2即可的9880
平方和公式是高中的要求记住的
证明如下
（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)