高数概率问题

Question

设随机变量X服从正态分布N(u，o的平方)，则随o的增大，概率P{|X-u|<o}?
A单调增大
B单调减小
C保持不变
D增减不变
此题答案是C，请问各位大侠这是为什么呢？

Answer 1

P{|X-u|<o}=P{u-o<X<u+o}
概率P{|X-u|<o}所要求的就是X落在区间[u-o,u+o]之间的概率，在求解正态分布的概率时通常要做的是把原式子化成标准正态分布
所以，把P{u-o<X<u+o}化成标准的正态分布
P{u-o<X<u+o}=P{(u-o-u)/o<(X-u)/o<(u+o-u)/o}=P(-o/o<(X-u)/o<o/o)=P(-1<(X-u)/o<1)
把所求概率化成标准正态分布后就发现，其实所求的概率值与o的值的大小无关，所以随着o的增大，概率P{|X-u|<o}保持不变。
事实上，o无论是变大还是变小，都不影响P{|X-u|<o}的大小

Answer 2

这个应该没问题

Answer 3

P{|X-u|<o}=P{|X-u|/o<1}
Z=（X-u）/o服从正态分布N(0，1)，
则P{|X-u|/o<1}=P{|Z|<1}为定值

Answer 4

p{x1≤X≤x2}=Ф[(x2-μ)/σ]-Ф[(x1-μ)/σ]

P{|X-μ|<σ}=P{μ-σ<X<μ+σ}=Ф[(μ+σ-μ)/σ]-Ф[(μ-σ-μ)/σ]
=Ф(1)-Ф(-1)
=2Ф(1)-1=0.6826