设A，B是群G的两个子集，证明：AB≤G充分条件是AB=BA.

Question

近世代数

Answer 1

题目有点问题，应该是A，B为子群，求证AB是子群的充要条件是AB＝BA。
证：若AB是子群，则对于任意A的元素a及B的元素b，ab的逆b^(-1)*a^(-1)应在AB中，
反之亦然。
注意A^(-1)=A, B^(-1)=B，所以上面结果得到AB＝BA。

反之，若AB＝BA，则对于AB中的任意元素ab，其逆b^(-1)*a^(-1)在BA中，从而也在AB中，
即AB的每个元素的逆元仍在AB中；又，任取AB的两个元素a1b1，a2b2，它们的积为：
a1(b1*a2)b2，由于中间(b1*a2)属于BA，从而属于AB，可写成a3b3的形式，
所以a1(b1*a2)b2＝a1(a3b3)b2＝(a1a3)*(b3b2)，属于AB，即AB关于乘法封闭，
所以AB是子群。

证毕！

Answer 2

题目有问题！！！~

AB只是两个集合的笛卡尔积 和 G 要么是 集合之间的属于关系 要么是 阶 的大小比较

不论理解为 |AB|<=|G| 还是 AB属于G 该题都是错误的

因为要有很明显的反例 G=S3 中 子集 A={(1,2)} B={(1,3)}
那么 AB={(1,3,2)}
既属于S3 |AB|又小于6
但是AB 绝对 补等于 BA={(1,2,3)}
因此 题目就是伪命题

追问

这里A，B是子群，不是子集，你再看一下题目吧