简述关系映射反演方法的基本含义，并简要说明关系映射反演方法在小学数学教学中的重要意义？

Question

急 数学方法论

Answer 1

关系(relationship)、映射(mapping)、反演(inversion)方法，简称RMI方法，是一种重要

的数学思想方法 ，是分析处理数学问题的一种普遍方法。

RMI方法的基本思想：当解决问题甲有困难时，可以借助适当的映射，将问题甲及其

关系结构R，转换成比 较容易解决的问题乙及其关系结构R[*]，在关系结构R[*]中解出问

题乙，然后把所得结果，通过逆映射反演到 R，从而求得问题甲的解。

RMI方法的基本内容：设R表示一组原象的关系结构（或原象系统），其中包含着待确

定的原象X，令M表示 一种映射，通过它的作用假定原象结构系统R被映成映象关系结构

R[*]，其中包含未知原象X的映象X[*]，如果 有办法在R[*]中把X[*]确定下来，则通过逆

映射即反演I=M[-1]也就相应地把X确定下来。用框图表示为：

附图{图}

利用RMI方法解决问题的步骤为：

关系─映射─定映─反演（得解）。

运用RMI方法，关键在于选取“适当”的映射。即选取的映射M不仅是可定映的，而

且还应是可逆映射。

RMI方法在小学数学认知中最典型的体现就是数与形的互相转化所起到的化繁为易的

作用。明确RMI思想方 法在小学数学中的渗透，不仅有助于培养学生的解题能力，而且还

有助于组织教学。

（一）运用RMI思想组织教学

就小学生接受知识的心理特点来讲，看到的东西要比听到的印象深刻，且容易记住。因

此在教学中，运用 RMI思想方法，把抽象的数学转化为具体的形，从形中发现规律，再得

出抽象的规律。

如乘法运算这一概念可用直线段来进行教学。以3×2为例，从0开始，用竖线划分出

3个单位，划分点的位 置是3。从这点开始，再划分3个单位竖线标号落在点6上（图1）。

因此，3+3=6，3×2=6。当然，还可以用同样 的步骤来表示2×3=6（图2）。由此可进一步

说明乘法的交换律。

附图{图}

（二）运用RMI方法解题举例

尽管在小学数学中不出现“RMI方法”这一名称（甚至连“映射”这名称也不出现），

但在整个小学阶段的 解题教学中，始终体现着RMI方法的运用。常见的可归纳为以下三种

形式：

1.图形集（点集）到图形集（点集）的映射

在研究几何图形性质时，常常把某一图形看作为一已知的熟悉的图形，通过一定的几何

变换（如对称、平 移、旋转、伸缩等）而得到的，几何变换就是一种图形集（点集）到图

形集（点集）的映射。

其思维过程为：

附图{图}

例1、求图3中由两个四分之一圆弧构成的阴影部分的面积。

附图{图}

解：可把左边的长方形上阴影部分①平移到中间的长方形中无阴影部分②；把右边的长

方形上阴影部分③ 平移到中间的长方形中无阴影部分④。即作从图形集（点集）①、③到

图形集（点集）②、④的等积映射。这 样，得到所求阴影部分的面积，即等于中间一块长

方形面积：

2×4=8.

2.实数集到图形集的映射

借助于正实数与几何图形（一般有线段图、矩形图、圆形图、韦恩图等）之间的映射，

把代数（算术）问 题变换为几何问题，利用几何图形的直观性，完成对原问题的解答。

原思维过程为：

附图{图}

4 7

例2 一辆汽车从甲地开往乙地，先行了全程的-，剩下路程的─是

5 10

上坡路，其余的是下坡。已知下坡路为3公里，求甲乙两地距离。

附图{图}

分析：这题可借助于正实数与线段之间的一一对应关系（映射），运用RMI方法，把原

问题中不明显的数量 关系转化为线段关系，如图4，然后根据所示的线段关系来反演出原

问题中的数量关系，从而建立算式。

4

设以全程为单位"1"时，剩下的对应分数是1--；而3公里的对应分

5

4 7

分数为：(1--)×(1-─)。

5 10

4 7

综合式：3÷[(1--)×(1-─)]=50（公里）

5 10

通过本例可看出，在小学应用题教学中，要强化把应用题中的数量关系“翻译”成图形

（如线段）的练习 ，使学生明确图形能准确、明了地展示题中的数量关系，很快地列出算

式。

3.实数集到实数集的映射

在正、反比例关系中，表示两个量之间的关系式，是实数集到实数集的一种映射。在解

应用题时，数量之 间常通过转化代换的方法去解，也可理解为从实数集到实数集的映射。

其思维过程为：

附图{图}

例3 某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天可完成。如果甲、乙合做，需48

天完成。现甲先单独做 42天，然后再由乙来单独完成，那么，乙还需做多少天？

解：由已知，某工程甲做63天与乙做28天的工作量之和相当于甲、乙两人都做48天

的工作量。由此可知， 甲做63-48=15天的工作量相当于

20 4 乙做48-28=20天的工作量，于是甲做1天的工作量就相当于乙─=-天的

15 3

4

工作量（即映射：甲做x天→乙做-x天）。

3

现在甲做42天，然后再由乙来单独完成需几天的问题，与甲、乙合作共做48天比较：

48-42=6（天），这6 天甲做的工作量由乙去完成，乙

4 需6×-=8（天），因此乙还需做48+8=56（天）。

3

综上所述，RMI方法应用极广，用它来处理问题，常能将问题从未知领域向已知领域

转化，收到变难为易， 化繁为简的效果，它对于提高学生的思维能力是十分有效的。因而，

在小学数学教学中应引起足够的重视。