解方程：（x+1)/(x+2)+（x+6)/(x+7)=(x+2)/(x+3)+(x+5)/(x+6)，为什么必须使方程两边分母常数差相等？

Question

我的解法：原方程=
（x+1)/(x+2)+(x+6)/(x+7)=(x+2)/(x+3)+(x+5)/(x+6)
1-1/(x+2)+1-1/(x+7)=1-1/(x+3)+1-1/(x+6)
-1/(x+2)-1/(x+7)=-1/(x+3)-1/(x+6)
1/(x+2)+1/(x+7)=1/(x+3)+1/(x+6)
(2x+9)/(x^2+9x+14)=(2x+9)/(x^2+9x+18)
为什么这样就求不出来，只能按
1/(x+2)-1/(x+3)=1/(x+6)-1/(x+7)
(x+3-(x+2))/(x+2)(x+3)=(x+7-(x+6))/(x+6)(x+7)
1/(x+2)(x+3)=1/(x+6)(x+7)
(x+2)(x+3)=(x+6)(x+7)
x^2+5x+6=x^2+13x+42
8x=-36
x=-9/2
这样做？按道理应该也行的。
知其然而要知其所以然........
风唱梵音

Answer 1

一样可以解出来。
(2x+9)/(x^2+9x+14)=(2x+9)/(x^2+9x+18)
移项提取公因式：(2x+9)[1/(x^2+9x+14)-1/(x^2+9x+18)]=0
则有2x+9=0 =>x=-9/2
或：1/(x^2+9x+14)-1/(x^2+9x+18)=0，通分后得：4/【(x^2+9x+14)*(x^2+9x+18)】=0
此方程无解(此处判断需要用到一元二次方程判别式，如果你是初二，还没学到）。
故只有x=-9/2

Answer 2

你的做法也是对的。
能做出来。
续：(2x+9)/(x^2+9x+14)=(2x+9)/(x^2+9x+18)
去分母：(2x+9)*4=0
所以x=-9/2

Answer 3

很简单
（x-1）/(x-2)=1-1/(x-2)
同理可以都表示出来
两边同-2并乘-1
之后把x+2、x+3放一边
通分得（x+2)(x+3)=(x+6)(x+7)
解得x=-9/2

Answer 4

你的解法最后一步是除以(2x+9)吧?原方程的解是x=-9/2,代入2x+9得0
方程两边不能同时除以0,所以……你明白了吗？

以后有不会的数学问题还可以问我哈~