如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）． 若C（a，0），D（a＋3，0）

Question

如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．
若C（a，0），D（a＋3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝____时，四边形ABDC的周长最短；

Answer 1

解：作点A关于x轴的对称点A'

则A’的坐标为(2,3)

取点B'（5,3）

连接BB',与x轴交于点D

可得直线BB'的解析式为y=4x-17

可得D点坐标为(17/4,0)

a+3=17/4

a=5/4

Answer 2

解：作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（2，3），把A′向右平移3个单位得到点B'（5，3），连接BB′，与x轴交于点D，如图，
∴CA′=CA，
又∵C（a，0），D（a+3，0），
∴CD=3，
∴A′B′∥CD，
∴四边形A′B′DC为平行四边形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此时AC+BD最小，
而CD与AB的长一定，
∴此时四边形ABDC的周长最短．
设直线BB′的解析式为y=kx+b，
把B（4，-1）、B'（5，3）分别代入得，
4k+b=-1，5k+b=3，
解得k=4，b=-17，
∴直线BB′的解析式为y=4x-17，
令y=0，则4x-17=0，
解得x=17 |4 ，
∴D点坐标为（17 4 ，0），
∴a+3=17| 4 ，
∴a=5 |4 ．
故答案为5| 4 ．

Answer 3

当a=2时、周长最短。
画图可知：AB与CD的距离是确定的。就可以不用求了。现在只要AC与BD的距离最短就可以了 。
AC=√（a-2)2+9 BD=√（a-1）2+1
有这一步、可以设a-2=b 刚替代后AC=√b2+9 BD=√（b+1)2+1 分解下BD=√b2+2b+3
则可知：当b=0时。得最小值。刚a-2=0时最小、则a=2.

Answer 4

a=1.5。a=2。a=1周长最短。
因为AB与CD的距离是确定，只要AC加BD的距离最短就可以了 。
AC+BD=√（a-2)*2+9+√（a-1)*2+1 =10+√（a-2)*2+√（a-1)*2
可以看做一点到1和2距离最小 即a=1.5 时AC+BD=11 a=2时AC+BD=11 a=1时AC+BD=11

Answer 5

a=2