数学容斥问题

Question

对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种。则三种维生素都含的有多少种？
有这么个答案：至少含一种维生素的食物有39-7=32种，三种维生素都含的食物有32+7+6+9-17-18-15=4种。我没看懂。

Answer 1

可以画图看一下，你就明白了 

需要图就等一下，上传慢 

至少含有一种的，有39-7=32种

这个明白吧

把含有甲乙丙的都加起来，

那么同时含有甲乙，甲丙，乙丙的各被加了2次

同时含有甲乙丙的，被加了3次

用甲乙丙的和，减去甲乙、乙丙、甲丙

这样同时含有甲乙丙的被减了3次

得到的数就是至少含有一种的减去三种都有的

为：17+18+15-7-6-9=28种

那么三种都有的就是：32-28=4种

综合算式就是：

32-（17+18+15-7-6-9）

=32+7+6+9-17-18-15

=4种

Answer 2

如图，1号圆是含甲的，2号圆是含丙的，3号圆是含乙的

1号圆和2号圆相交的部分是5号区，是既含甲又含丙的

2号圆和3号圆相交的部分是6号区，是既含乙又含丙的

1号圆和3号圆相交的部分是4号区，是既含甲又含乙的

三个圆都相交的部分是7号区，是同时含有三种成分的

整个图的面积=1+2+3-4-5-6+7，因为

1+2+3，则(4-7)，(6-7)和(5-7)各重复了一次，而7重复了2次

-4-5-6，去掉了上面重复的(4-7)，(6-7)和(5-7)，而7被多减了一次，因此最后还要+7

现在求的是7

而整个图的面积和其余1-6号区域的面积都知道了

因此7号区的面积=整个图的面积+4+5+6-1-2-3，也就是32+7+6+9-17-18-15=4

Answer 3

至少含一种维生素的食物就是图中所有涂色的部分

三种维生素都不含的食物就是图中没有涂色的部分

所有涂色的部分和没有涂色的部分合起来是39种

所以至少含一种维生素的食物有39-7=32种

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三种维生素都含的食物有32+7+6+9-17-18-15=4种

32+7+6+9  

含一种维生素的食物算了一遍

含两种维生素的食物算了两遍

含三种维生素的食物算了三遍

-17-18-15

含两种维生素的食物减了一遍

含三种维生素的食物减了两遍

32+7+6+9-17-18-15

正好图中每种颜色算了一遍

也就是三种维生素都含的食物.有32+7+6+9-17-18-15=4种

Answer 4

思路应该是这样的：至少有一种的为32种，要得到含有三种的，需将含有一种和两种的减去，在减的过程中，含有一种的只减了一次，而含有两种的被减去两次，就多减了一次，需加一次，最终含有两种的只是减了一次，含有三种的被减去三次，在加的的过程中又被加了三次，抵消了，含三种的没加上也没减去，因此最终含有一种和两种的都恰好减去，只剩下含有三种的。
可以画图，比较直观，有助理解！
希望能帮到你！

Answer 5

你把数值填入三个相交的的圆中，就很容易明白了，加两次出现的数，减一次出现的数。

Answer 6

使用集合的方法画图，解出X=5，和上面不一样。如果认为我是对的的话就来问我吧

追问

不对，答案是4