复利与72法则

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Einstein曾说：“复利是世界第八大奇迹”。这句话大多数人都听过，但它其实还有后半句，“知之者赚，不知者被赚。”（Compound interest is the eighth wonder of the world. He who understands it, earns it ... he who doesn't ... pays it.    -- Albert Einstein)

这句话只看前半句的话，可能没什么感觉。复利是奇迹，复利很厉害，可是，这跟我有什么关系呢？但是如果看了后半句，我估计可能有些人就跟我一样坐不住了吧。不知者被赚！这怎么行，我可不想随随便便就被别人剪了羊毛啊。所以还是赶紧了解一下复利是什么东西吧。（这种厌恶损失的心理就是典型的损失规避心理（loss aversion））

复利这个概念其实很简单，就是我们平时所说的“利滚利”。大多数人之所以对此不甚了解，估计是从小到大受到的教育所致。无论是家长、老师、社会都向我们灌输一种想法，即“利滚利”是不好的。甚至不惜扭曲事实（可能也是真的不知道），将“利滚利”等同于“放高利贷”。虽然放高利贷的人确实收的是复利，但是这并不等同于说复利或“利滚利”就是高利贷。其实现代金融世界里到处都在应用复利，只是我们不了解而已。著名的股神巴菲特50多年的投资生涯获利几万倍，靠的就是复利原理。

既然复利这个概念如此有用而且不邪恶，那就让我们来一起看看它的神奇之处吧。

假设你将100元存入银行，银行非常好心的给你提供10%的年复利。（现实生活中没有这样好心的银行，有的话也早就倒闭了）那么一年后你的银行账户将有110元，其中100元是你的本金，10元是银行付给你的利息。这看着很平常，大家都能理解。

确实，如果只看一年的话，复利跟我们所熟悉的单利没什么区别。但是从第二年开始就有区别了。假设你第二年将本息继续存入同一家银行，它还是付给你10%的年利息。那么两年后你的银行账户将有121元，其中110元是你满一年时的本息和，而另外的11元则是那110元在新的一年里产生的复利。与之对应，若以单利计算，两年后你的银行账户总额为120元，其中110元是满一年时的本息和，10元是本金100元在第二年产生的单利。

从上面的计算可以看出单利和复利的计算公式：

单利：本金 + 本金 * 单利利率 * 时间周期

复利：本金 *（ 1 + 复利利率）^ 时间周期

代入数值计算后，从图中可以看出单利和复利之间的差异。

关于复利还有一个很有意思的 72法则（Rule of 72） 。72法则最早由帕西奥利（Pacioli）提出， 它用于估算一项投资在复利条件下如果要翻倍所需的时间周期 ，即用于计算 1 *（1 + x /100）^ n = 2 ，在 x（复利利率）给定条件下，n（时间周期）的值。

上面的公式可以进行如下化简：

首先两边取对数，则有：n*ln(1+x/100) = ln2，即 n =  ln2/ln(1+x/100) 。

然后，因为x/100近似于0，所以根据极限中的等价无穷小替换: ln(1+x) ≈ x（在x趋近于0时成立）。根据此公式，可以将上式中的 ln(1+x/100) 近似替换为 x/100，所以上式变为：n = ln2/(x/100)，即 n = (100*ln2) / x 。

最后，直接计算 ln2 约为0.693，所以 n = 69.3/x 。

因为 ln(1+x/100) 近似替换为 x/100 时有误差，所以实际调整后将69.3改为72更为准确。这就是72法则！有了它，你就能很快速地在脑中估计一项投资翻倍所需的时间。

举例来说，在前面存银行的例子中，你存入银行的100元在10%年复利利率的条件下大约需要 72/10 = 7.2 年翻倍。

需要注意的是72法则只是便于估计，不能代替实际计算。它在6%-10%的范围内准确度最高，超过10%时得到的结果会小于实际值。原因在于 ln(1+x) ≈ x 的等式只在 x 趋近于0时成立，而当 x 变得越来越大时，预测值与实际结果的拟合度就会变低。不过即使如此，72法则还是很有用，巴菲特就常用它估计一项投资的回报时间。

此外，72法则还可以进行拓展。如果需要计算一项投资变成一开始的3倍所需的时间，可以采用同样的方式，将上式中的 ln2 替换为 ln3 即可，得到的结果是109.86，修正后是111.很神奇吧！