关于曲面积分问题，为什么这道题把z带入计算是错的？

Question

原题如图1，用高斯化简后如图2，我的计算过程如图3。转化为了计算那个锥体的三重积分问题，我用先一后二，把z=x平方+y平方代入，把被积函数化为3z+7，但是算出来是错的，和老师用极坐标法算的不一样（答案是4pai）。。。截面明明满足z=x平方加y平方，代入却算不对

Answer 1

高数:关于第二类曲面积分对称性和奇偶性的使用 这道题 第二类曲面积分看奇偶性一定是先看积分变量，而不是你这样子看的。这里的积分变量是dxdy，其实也就是说明了dydz和dzdx的系数都是0.那么针对dxdy，只有z的奇偶性才起作用。所以这题只看z。根据第二类曲面积分奇倍偶零，这题实际上是翻倍。一定要注意，如果积分变量是dxdy，x和y的奇偶不会对整体式子产生任何影响

Answer 2

你的第一步的写法就存在问题。可以分离成分别对z 和xy 的积分乘积形式，需要满足相应的被积函数分别是只关于z 和 xy 的函数，以及相对应的积分上下限。不满足的话，则写法不成立。

追问

不是很懂。。。我转化成z后不就是与xy无关，可以提出来了么

我好像懂了，把xy换成z，我只换了被积函数，然而dxdy以及积分限也要用z来表示。哎，还是老老实实用极坐标吧。

Answer 3

z = x^2+y^2 是旋转抛物面。
补充平面 ∑1：z = 1（x^2+y^2 ≤ 1）, 取下侧，则
I = ∫∫<∑> = ∯<∑+∑1> - ∫∫<∑1>, 前者用高斯公式， 后者 z = 1，dz = 0
I = -∫∫∫<Ω>[3(x-1)^2+3(y-1)^2+1]dv + 0
= -∫<0, 1>dz∫<0, 2π>dθ∫<0, √z>[7+3r^2-6r(cosθ+sinθ)]rdr
= -∫<0, 1>dz∫<0, 2π>dθ∫<0, √z>[7r+3r^3-6r^2(cosθ+sinθ)]dr
= -∫<0, 1>dz∫<0, 2π>dθ[7r^2/2+3r^4/4-2r^3(cosθ+sinθ)]<0, √z>

= -∫<0, 1>dz∫<0, 2π>[7z/2+3z^2/4-2z^(3/2)(cosθ+sinθ)]dθ
= -∫<0, 1>dz[(7z/2+3z^2/4)θ-2z^(3/2)(sinθ-cosθ)]<0, 2π>
= -2π∫<0, 1>(7z/2+3z^2/4)dz = -2π[7z^2/4+z^3/4]<0, 1> = -4π

Answer 4

对面积的曲面积分在计算时还有一项ds需要计算，ds=√[1+（?z/?x）2+（?z/?y）2]dxdy 这是投影到xoy面的计算结果，里面有两个偏导数需要计算，因此在计算之前需要将曲...