离散数学，高手来解答～

Question

通过观察下面的式子
1) 1=1
2) 2+3+4=1+8
3) 5+6+7+8+9=8+27
4)10+11+12+13+14+15+16=27+64
1.推出一般式

2.证明你的式子成立

Answer 1

一般式：
对第N个式子，有(n-1)^2+1+....+n^2 = (n-1)^3 +n^3
证明：
（首项+末项）x 项数 /2
有[(n-1)^2+1+n^2] x (2n-1) /2
其中2n-1为项数，得到(n^2-n+1)(2n-1) = 2n^3 -3n2 +3n-1
其中n^3 -3n^2 +3n-1这部分就等于(n-1)^3
所以(n-1)^2+1+....+n^2 = (n-1)^3 +n^3得证

Answer 2

解：a1=1^3,a2=1^3+2^3,a3=2^3+3^3,得an=(n-1)^3+n^3.
证:an=(n-1)^3+n^3，a(n+1)=n^3+(n+1)^3,
a(n+1)-an
=n^3+(n+1)^3-(n-1)^3-n^3
=(n+1)^3-(n-1)^3
=(n+1-n+1)[(n+1)^2+(n-1)^2+(n+1)(n-1)]
=2[2n^2+2+n^2-1]
=6n^2+2
我只能证明到这儿了

Answer 3

1=1
n²+1+ n²+1+ 点点点 +（n+1)²=n³+（n+1）³ (n大于等于2）
证明
n=2时 2+3+4=1+8 等式成立
设n=k时，等式成立k²+1+ k²+2+ 点点点 +（k+1)²=k³+（k+1）³
那么n=k+1时 左式为（k+1)²+1+（k+1)²+2+点点点+（k+2)²=二分之（（k+1)²+1+（k+2)²）×（2k+3)=2k³+9k²+15k+9=(k+1)³+（k+2）³ 等式成立
所以当k大于等于2时，等式成立

Answer 4

((x-1)² +1)+...(依次+1) ...+x² =(x-1)³ +x³
左边=x² *(x² +1)/2-((x-1)² +1)*(x-1)³²/2
=(x-1)³ +x³ =右边