一道高中数学题

Question

若数列an满足a1=1/2,且n为Sn与1/an的等比中项，求Sn的极限

Answer 1

插入的图片虽然是黑的，你单击一下就看清楚了。

Answer 2

∵a1=1/2,且n为Sn与1/an的等比中项
∴Sn=an*n²
S2=a2*2²=a1+a2=1/2+a2
∴a2=1/6=1/2*3
S3=a3*3²=a1+a2+a3=1/2+1/6+a3
∴a3=1/12=1/3*4
S4=a4*4²=a1+a2+a3+a4=1/2+1/6+1/12+a4
∴a4=1/20=1/4*5
由此可推得an=1/n*(n+1)
∴Sn=an*n²=n²/n*(n+1)
∴lim Sn=lim n²/n*(n+1) =1

Answer 3

n为Sn与1/an的等比中项
n^2=sn/an
n^2(sn-sn-1)=sn
(n^2-1)sn=n^2sn-1
sn/sn-1=n^2/n^2-1=[n/n+1]/[(n-1)/n]
sn=n/n+1
limSn=1
最简单明了

Answer 4

找规律嘛
n的平方*an=sn
an=1/(1+n)n
所以sn=n/(1+n)
极限就是0

Answer 5

Sn = n^2 an = n^2(Sn -S(n-1))
Sn = S(n-1) * n/(n+1) * n/(n-1)
这是一个递推式，可以一直往下写，直到S1 = a1
Sn = n/(n+1) * n/(n-1) * ......*2/3 * 2/1 *a1
= n/(n+1) * 2* a1 = n/(n+1)
所以：
limit Sn = 1

Answer 6

照楼上的几个人的说法an=1/n(n+1)[数学归纳法拉、找an、Sn的关系式都可以算得出]
那么又an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
那么Sn=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
当n倾向于无穷时
1/(n+1)倾向于0
那么Sn就倾向于1
这种方法叫拆项求和
类似的还有：
1/n(n+a)=1/a*[1/n-1/(n+a)]这是二项的
还有三项的等等