线性代数第一章的两道小题 解答步骤一定要详细啊 我数学超级菜！

Question

（1）设行列式D=1 5 7 8，则A41+A42+A43+A44=（0）.
1 1 1 1
2 0 3 6
1 2 3 4
同学写的化成了1 5 7 8，他化的对吗？怎么化的？有其他解法的话请写出来。
1 1 1 1
2 0 3 6
1 1 1 1
（2）行列式a+b d =(d选项)
c e+f
(a)a d+b d
c e c f
（b）a d +b d
c e+f c e+f
(c) a d+b 0
c e 0 f

(d)a d+a 0+b d+b 0
c e c f 0 e 0 f
为什么abc错了d却对，我看起来正好相反~！求详解步骤！！是不全是行和可分呢 ？

Answer 1

(1) 你同学是对的.
两个行列式虽然不一样, 但它们第4行的代数余子式是一样的, 这是关键!
A41+A42+A43+A44 这是第4行的代数余子式之和, 所以把原行列式的第4行换成 A41+A42+A43+A44 的系数1,1,1,1.
若求A41+2A42+3A43+4A44 , 则把原行列式的第4行换成1,2,3,4

(2) 这是行列式的分拆性质: 若行列式某一列(行)是两个数的和, 这个行列式可分拆成两个行列式.
a+b d
c e+f
=
a+b d+0
c+0 e+f
先按第1列分拆 =
a d+0
c e+f
+
b d+0
0 e+f
两个行列式都按第2列分拆 =
a d
c e
+
a 0
c f
+
b d
0 e
+
b 0
0 f
所以(d) 正确.

这个性质容易被误用, 需要注意是的 !!某一列(或行)!!, 不能同时分拆两列.
(a)a d+b d
c e c f
(2,1)位置c+0 没分拆, 错误

（b）a d +b d
c e+f c e+f
(2,1) 位置都是c, 不对!

(c) a d+b 0
c e 0 f
这就是上面说的典型错误, 两列一齐分拆 .

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