（2010年毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2，0)、B(4，0)，

Question

（2010年毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2，0)、B(4，0)，与y轴交于点C(0，4)，直线l是抛物线的对称轴，与x轴交于点D，点P是直线l上一动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)当AP+CP的值最小时，求点P的坐标；再以点A为圆心，AP的长为半径作⊙ A求证BP与⊙A相切；
(3)点P在直线l上运动时是否存在等腰△ACP?若存在，请写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

试题的解法

解法一：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1）,∴设，将C（0，3）代入上式解得 ，

∴， 即,

⑵分两种情况：

①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)

　　　　　　

令=0, 得 解之得, ，∵点A在点B的右边, ∴B(1,0),

A(3,0)，∴P1(1,0).

②当点A为△APD2的直角顶点是(如图)

　　　　　　　　　

∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=,当∠D2AP2=时, ∠OAP2=,∴AO平分∠D2AP2又∵P2D2∥轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于轴对称.设直线AC的函数关系式为,

将A(3,0), C(0,3)代入上式得

, ∴

∴,

∵D2在上, P2在上,

∴设D2(,), P2(,)

∴()+()=0,

, ∴, (舍),

∴当=2时, ==-1,

∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)

∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1).

(3)由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形；

当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形.

∵P(2,-1), ∴可令F(,1)，

∴

解之得: ,

∴F点有两点,即F1(,1), F2(,1)

下面我们再研究第二问的不同解法。

解法二：①显然，当P与点B重合时P的坐标为P1（2，-1）；

　　　　　　　　

②又AB=2，∠OAD2=,Q(2，-1)，作QH⊥AB于H，∴QH=1，QH=1/2AB=AH=1,

∴∠QAD=,∴当点P与点Q重合时△PAD是直角三角形，

∴P的坐标为P2（2，-1）

解法三：①显然，当P与点B重合时P的坐标为P1（2，-1）；

②连接CQ、AQ，可得

,

∵,∴∠CAQ=,(勾股定理逆定理)，

即当点P移动到点Q（顶点）时，有∠CAP(Q)=,∴△PAD是直角三角形，∴P的坐标为P2（2，-1）

　　　　　　　　　　

解法四：①显然，当P与点B重合时P的坐标为P1（2，-1）；

②若∠DAP=，设DP与OA交于点H，∵∠OAD=，∴∠OAP=,

设AH=HP=x，∴OH=3-x，则P（3-x,-x）,点P在抛物线上，

∴有，解之得

当时，P（3，0），与点A重合（舍）；

当时，P2（2，-1），与Q重合.

　　　　　　　　

解法五：①显然，当P与点B重合时

P的坐标为P1（2，-1）；

②过点A作AP⊥CA，交抛物线于点P， 作 PD∥轴,交OA于H，设HB=,AH=,

显然，DH=AH=PH=，OH=，

∴P（，），将点P坐标代入，得，解之得，

当时，P2（2，-1）与Q重合；

当时，P（3，0）与A重合（舍）

　　　　　　　　　

解法六：（利用相似求解）

直线AC:, D(x,-x+3),DP=-x+3-(x2-4x+3)=-x2+3x,

延长DP交OA于点E，∵A（3,0），E（x,0）∴AE=DE=OA-OE=3-x,AD=,

①当∠DPA=∠COA=时，∵PD∥轴,

∴△PAD∽△COA,即 ，解之得

∴P（1，0）与B重合，P（3，0）与A重合（舍）

②当∠DAP=∠COA=时, △PAD∽△COA,,

即 ，解之得，，∴P（2，-1）与Q点(顶点)重合，∴P1（1，0），P2（2，-1）.

Answer 2

（1）ABC三点坐标代入
（2）B我A关于l的对称点，连接BC与l焦点即为所求P；证明点到直线的距离等于半径，（初中知识不知道能不能解决）
（3）分情况讨论

Answer 3

第一问：由于已经知道了图形的对称轴为 L: x = (-2+4)/2 = 1
所以可以直接设出抛物线的对称轴式：y = a ( x -1 )^2 + d
带入 A，C两点坐标，有以下方程组：
a ( 4 - 1 )^2 + d = 0 a (0 - 1)^2 + d =0
解方程得：a = -1/2 d = 1/2
抛物线方程为：y = -1/2 ( x - 1 )^2 + 1/2