关于极值点问题

Question

极值点处函数的二阶倒数f''(x)可以等于0么？
我觉得如果等于0的话，那么其一阶导数f'(x)为常数，那么为了保证是极值点，其极值点出会出现尖点，使得该点不可导。那么导数就没有意义了？

Answer 1

事实上f'(x)=f''(x)=0的点又叫拐点，比如说f(x)=x^3的时候x=0处就有一个拐点。
如果一个点是极值点的话导数必然为0或者不存在。导数不存在的话二阶导数自然也不存在。但是存在的话必定为0，这时候就要看二阶导，如果不是0的话就是极值点，如果是0的话就是拐点，但这时是否极值点需要讨论更高阶的导数。在这种情况下，令f的n阶导在该点处去非0值的最低阶的导数（不可能全为0，否则函数在该点泰勒展开后可证明在一个邻域内是常函数），如果n是偶数的话这就是一个极值点，否则就不是。
不是任意可导的函数的分析更复杂一些，不过也大同小异。

Answer 2

这里要分清楚“函数的导函数（简称函数的导数）”和“函数在某点处导数”的区别。
函数的二阶导函数为0时，其一阶导函数为常数，
而函数在极值点处二阶导为0与这个的意思不同，不要混淆了。
例：f(x)=x^4,极值点x=0,一阶导为f'(x)=4x^3,f"(x)=12x^2,
其极值点处二阶导数为0，但函数二阶导不为0.
当然，若定义域中存在a，使得f'(a)=0,f"(a)=0,则a并不一定是函数的极值点，将会有更加复杂的讨论，这一点在高等数学中有介绍。
此解答仅供参考。

Answer 3

若f(a)是函数f(x)的极值，则称a为函数f(x)取得极值时x轴对应的极值点。 　　极值点是函数图像的某段子区间内上最大值或者最小值点的横、纵坐标。