已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且在区间[-1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式

Question

(2)是否存在自然数m,使得方程f(x)+37/x=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?````第一步求出来f(x)=2x^2-10x...第二步的答案是3,可过程怎么写啊,希望哪位高手能写一下``

Answer 1

1.
∵f(x)是二次函数，f(x)＜0的解集是（0，5）

∴可设f(x)=ax(x－5) （a＞0）

因为f(x)图象的对称轴为x=5/2 ,

∴f(x)在区间[-1，4]上的最大值是f(-1)=6a,

由已知得6a=12,∴a=2

∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x (x∈R)

2.
方程f(x)+ 37/x=0等价于方程2x^3-10x^2+37=0

设h(x)= 2x3-10x2+37.
则h'(x)=6x2-20x=2x(3x-10)

当x∈(0, 10/3) 时, h'(x)＜0,h(x)是减函数,

当x∈(10/3 ,+∞) 时, h'(x)＞0,h(x)是增函数,

∵h(3)=1＞0，h( 10/3)=-1/27 ＜0，h(4)=5＞0

∴方程h(x)=0在区间(3,10/3 )，(10/3 ,4)内分别有唯一实数根，

而在区间（0，3），（4，+∞)内没有实数根。

∴存在唯一的自然数m=3，使得方程f(x)+37/x =0 在区间（m,m+1）内有且只有两个不同的实数根。

参考资料：http://www.junerzhong.com/jxky/UploadFiles_8890/200712/20071204100921108.doc

Answer 2

（1）设f(x) = ax^2 + bx + c (a>0)
可知：f(0)=0 f(5)=0 f(-1)=12;
即 c=0, 25a + 5b + c = 0, a – b + c = 0
解得a = 2, b = - 10
∴f(x) = 2x^2 - 10x

（2）
∵x ≠ 0
∴设g(x) = 2x^3 – 10x^2 + 37
∴g’ (x) = 6x^2 - 20x 可知g(x)在(-∞, 0)单增， (0, 10/3)单减， (10/3, +∞)单增
∴g(x)在x=0, x=10/3处有极值
依题意
0∈(m, m+1) 或 10/3∈(m, m+1) 解得m = -1 或 m = 3
∵m∈N*,
∴m = 3 满足题意。