线性代数笔记-（5）置换和转置

Answer 1

为了与上一节公式分解联系，这一节将深入探讨置换与转置。首先回顾一个公式为例，理解更深刻。

举例：设公式为 A = (a_ij)，第一步将第二行减去第一行公式倍数，然后第三行减去第一行公式倍数。具体步骤如下：A = (a_ij) → (a_ij) - (ca_ij) → (a_ij) - (da_ij)，这里的 c、d 表示减去的倍数。

为明确减法过程，设 c、d 为具体数值，完成消元过程。再令公式表示从第三行减去第二行的倍数，结果矩阵记为 B。

之所以称 B 为上三角形矩阵（upper triangular），是因为它的主对角线及其上方元素为零；称公式为单位下三角形矩阵（unit lower triangular），其主对角线及其下方元素为 1。

设公式表示消元过程，对于 B，若不存在行互换，则消元乘数即为公式中的数值。若需要行互换，即置换（permutation）过程。

置换矩阵（permutation matrix）可以将矩阵行互换。如单位矩阵为置换矩阵，其不改变矩阵，包括行互换。

举例：单位矩阵 [I] 表示不进行任何变换，如矩阵 A * [I] = A，包括行互换。

另一个置换矩阵，如 [P] 表示将矩阵的第二行与第三行互换。

举例：[P] * A = B，其中 B 是行互换后的矩阵。

一个矩阵有 n 个置换矩阵。置换矩阵的一个特别性质是转置（transpose），即 [P]^T * P = I。

转置矩阵乘以自身得到单位矩阵，这非常有用。

转置（transpose）是指将矩阵的行与列互换，如 A^T = (a_ji)。

举例：A = (a_ij) 的转置为 A^T = (a_ji)。

对称矩阵（symmetric matrices）是转置后形态不变的矩阵，形式为 A = A^T。

举例：A = (a_ij) 是对称矩阵，因为 A^T = (a_ij)。

转置矩阵等于其自身的矩阵较少，但对称矩阵非常常见且容易找到。例如，将两个非对称矩阵相乘，可以得到对称矩阵。

通过置换矩阵和转置概念的理解，我们可以更深入地掌握线性代数的核心知识。