200分解答数学的乘法原理！~200分啊

Question

1、利用数字1，2，3，4，5共可组成
(1)多少个数字不重复的三位数？
(2)多少个数字不重复的三位偶数？
(3)多少个数字不重复的偶数？
2、把数、理、化、语、英5本参考书，排成一行放在书架上．
(1)化学不放在第1位，共有多少种不同排法？
(2)语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？
(3)物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？
(4)文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？
要过程！~详细点的

Answer 1

例如，从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线(设为a，b，c)，从C城到B城共有2条路线(设为m，t)，那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：
am，at，bm，bt，cm，ct．
下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用．
例1 利用数字1，2，3，4，5共可组成
(1)多少个数字不重复的三位数？
(2)多少个数字不重复的三位偶数？
(3)多少个数字不重复的偶数？
解(1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择．所以共有
5×40×3=60
个数字不重复的三位数．
(2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有
2×4×3=24
个数字不重复的三位偶数．
(3)分为5种情况：
一位偶数，只有两个：2和4．
二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54．
三位偶数由上述(2)中求得为24个．
四位偶数共有2×(4×3×2)=48个．括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)．
五位偶数共有2×(4×3×2×1)=48个．
由加法原理，偶数的个数共有
2+8+24+48+48=130．
例2 从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？
解法1 将符合要求的自然数分为以下三类：
(1)一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个．
(2)二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，98种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个．
(3)三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有
2×9×9=162个．
因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有
8+72+162=242个．
解法2 将0到299的整数都看成三位数，其中数字3
不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况．十位数字与个位数字均有九种，因此除去0共有
3×9×9-1=242(个)．
例3 在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？
解 不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数．
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数．由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为
9×9×9×9＝6561，
其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个．
例4 求正整数1400的正因数的个数．
解 因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积
1400=23527
所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到(有的可重复)．于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：
(1)取23的正因数是20，21，22，33，共3+1种；
(2)取52的正因数是50，51，52，共2+1种；
(3)取7的正因数是70，71，共1+1种．
所以1400的正因数个数为
(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
说明 利用本题的方法，可得如下结果：
若pi是质数，ai是正整数(i=1，2，…，r)，则数

的不同的正因数的个数是
(a1+1)(a2+1)…(ar+1)．
例5 求五位数中至少出现一个6，而被3整除的数的个数．
+a5能被3整除，
于是分别讨论如下：
(1)从左向右计，如果最后一个6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定．因此，为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3种可能，根据乘法原理，5位数中最后一位是6，而被3整除的数有
3×10×10×10=3000(个)．
(2)最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能(因为a5不能等于6)，a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能．根据乘法原理，属于这一类的5位数有
3×10×10×9=2700(个)．
(3)最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有
3×10×9×9=2430(个)．
(4)最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有
3×9×9×9=2187(个)．
(5)a1=6，被3整除的数应有
3×9×9×9=2187(个)．
根据加法原理，5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有
3000+2700+2430+2187+2187=12504(个)．
例6 如图1－63，A，B，C，D，E五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色．如果使相邻的区域着不同的颜色，问有多少种不同的着色方式？

解 对这五个区域，我们分五步依次给予着色：
(1)区域A共有5种着色方式；
(2)区域B因不能与区域A同色，故共有4种着色方式；
(3)区域C因不能与区域A，B同色，故共有3种着色方式；
(4)区域D因不能与区域A，C同色，故共有3种着色方式；
(5)区域E因不能与区域A，C，D同色，故共有2种着色方式．
于是，根据乘法原理共有
5×4×3×3×2=360
种不同的着色方式．
例7 在6×6的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，如图1－64，有多少种不同的剪法？
解 我们把凸字形上面那个小方格称为它的头，每个凸字形有并且只有一个头．

凸字形可以分为两类：第一类凸字形的头在棋盘的边框，但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的．于是，边框上(不是角)的小方格共有4×4=16个，每一个都是一个凸字形的头，所以，这类凸字形有16个．
第二类凸字形的头在棋盘的内部，棋盘内部的每一个小方格可以作为4个凸字形的头(即头朝上，头朝下，头朝左，头朝右)，所以，这类凸字形有
4×(4×4)=64(个)．
由加法原理知，有16+64=80种不同的凸字形剪法．

练习十八

1．把数、理、化、语、英5本参考书，排成一行放在书架上．
(1)化学不放在第1位，共有多少种不同排法？
(2)语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？
(3)物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？
(4)文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？
2．在一个圆周上有10个点，把它们两两相连，问共有多少条不同的线段？
3．用1，2，3，4，5，6，7这七个数，
(1)可以组成多少个数字不重复的五位奇数？
(2)可以组成多少个数字不重复的五位奇数，但1不在百位上？
4．从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个数组成一个三位数，问共可得到多少个不同的三位数？
5．由1，2，3，4，5，6这六个数字能组成多少个大于34500的五位数？
6．今有一角币一张，两角币一张，伍角币一张，一元币四张，伍元币两张，用这些纸币任意付款，可以付出不同数额的款子共有多少种？
7．将三封信投到5个邮筒中的某几个中去，有多少种不同的投法？
8．从字母a，a，a，b，c，d，e中任选3个排成一行，共有多少种不同的排法？

参考资料：http://baike.baidu.com/view/414357.htm

Answer 2

1、（1）第一位有5种可能，第二位有4种可能，第三位有3种可能，所以有5*4*3=60个数字不重复的三位数。
（2）不可能，一共只有5个数，所以是0个。
（3）一位数有两个，两位数有2*4=8（个）三位数有6*2*2=24个，四位数有4*3*2*2=48个，五位数有4*3*2*1*2=48（个）所以一共8+24+48+48=128个
2、（1）如化学放第二位，那有4*3*2*1=24种，另三位也是如此，所以一共有24*4=96（种）
（2）假如语文数学放在1、2位，那其他的就有3*2*1=6（种）放法，语文数学还有3种方法，所以一共有6*4=24（种），但由于两本书可以互换，所以一共24*2=48（种）
（3）假设物理放在第1、5位，那么化学各有3种放法，其他的有3*2*1=6种方法。一共36种（3*6*2）。如果物理放在2、3、4位，化学都各只有两种放法，其他的有3*2*1=6（种）放法。所以物理放在2、3、4位共6*2*3=36（种）放法。所以共有36+36=72（种）排法。
（4）根据条件，数理化必然放在1、3、5位，语文英语应该放在2、4位，由于他们文科理科里面可以互换所以理科互换的有3*2*1=6（种）方法。文科互换有2*1=2种方法，所以一共有2*6=12种方法。

Answer 3

(1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择．所以共有
5×4×3=60 个数字不重复的三位数．

(2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有
2×4×3=24 个数字不重复的三位偶数．

(3)分为5种情况：
一位偶数，只有两个：2和4．
二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54．
三位偶数由上述(2)中求得为24个．
四位偶数共有2×(4×3×2)=48个．括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)．
五位偶数共有2×(4×3×2×1)=48个．
由加法原理，偶数的个数共有 2+8+24+48+48=130个

2、
96 48 72 18

Answer 4

1. (1) A 5 3 没法写成竖着的 A 5 3 就是5个数里挑3个的全排列的意思 明白吧 下面这个写法都是这个意思

(2) 2*(A 4 2) 因为是偶数 五个数里只有2 4是偶数 所以分两种 2结尾和4结尾 每种情况 前两位就应该是剩下四个数里挑2个的全排列 所以是2*(A 4 2)

(3) 2+2*(A 4 1 )+2*(A 4 2 )+2*(A 4 3 )+2*(A 4 4 )
就是分5种情况 分别是 1 2 3 4 5位数
第一种 2,4 两个数
第二种 2,4结尾 剩下的数 是4 中挑1个 所以是2*(A 4 1 )
第三种 2,4结尾 剩下的数 是4 中挑2个 所以是2*(A 4 2 )
第四种 2,4结尾 剩下的数 是4 中挑3个 所以是2*(A 4 3 )
第五种 2,4结尾 剩下的数 是4全用上 全排列 所以是2*(A 4 4 )
所以最终结果就是都加起来

2.(1) 4*(A 4 4)

(2) (A 2 2)*(A 4 4)
(3) (A 3 3)*(A 4 2)
(4) (A 3 3)*(A 2 2)

剩下的不想写了... 好多人答哦

Answer 5

1、利用数字1，2，3，4，5共可组成 (过程见夏末之风）
(1)多少个数字不重复的三位数？ 60
(2)多少个数字不重复的三位偶数？ 24
(3)多少个数字不重复的偶数？ 130
2、把数、理、化、语、英5本参考书，排成一行放在书架上．
(1)化学不放在第1位，共有多少种不同排法？ A(5,5)-A(4,4)=96
(2)语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？ 4A(2,2)A(3,3)=48
(3)物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？ 6A(2,2)A(3,3)=72
(4)文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？ A(3,3)A(2,2) =12