请教2个小问题，微积分的
1.请举出一个外函数可积，内函数连续，但是复合函数不可积的例子。
2.一个函数f，如果有原函数，（即是另一个函数的导函数），那么这个函数f是未必可积的，因为可能无界
但如果一个函数既有原函数，又有界，那么是否可积？
这个问题我想不通
高手指教，谢谢！~
幸好不是清华数学系的那位匿名的老兄：
你第二次给出的例子，我想g并不是连续的。你观察在点x=2/3处右端的情况就知道了。而且一个函数不连续，还是有可能可积的。所以你最后一句复合函数fg在A1上不连续，因而不可积，是没有根据的。
********************
chenjiajiale：
能否把你的证明再详细写一下？
>> y=dsolve('(2*t-y)+(y-t)*Dy=0')
y =
[ t+(-t^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
[ t-(-t^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
即：
y=
[ x+(-x^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
[ x-(-x^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
【2】用scrodinger 的方法
2xdx+ydy-ydx-xdy=0
d(2x^2+y^2-2xy)=0
2x^2+y^2-2xy-c＝0
判别式＝4x^2-4*(2x^2-c)=-4x^2-4c
y1=[2x+(-4x^2-4c)^(1/2)]/2=x+(-x^2-c)^(1/2)
y2=[2x-(-4x^2-4c)^(1/2)]/2=x-(-x^2-c)^(1/2)
,外函数f(x）=0,x!=1;1,x=1;显然可积；
g(x)=1,显然连续；
f(g(x))=1,不可积。 （+-无穷）
我觉得就算无界照样可积阿
我中午看看书，在给你答复。概念忘了 【1】最简便的方法，用matlab解。
>> y=dsolve('(2*t-y)+(y-t)*Dy=0')
y =
[ t+(-t^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
[ t-(-t^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
即：
y=
[ x+(-x^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
[ x-(-x^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
【2】用scrodinger 的方法
2xdx+ydy-ydx-xdy=0
d(2x^2+y^2-2xy)=0
2x^2+y^2-2xy-c＝0
判别式＝4x^2-4*(2x^2-c)=-4x^2-4c
y1=[2x+(-4x^2-4c)^(1/2)]/2=x+(-x^2-c)^(1/2)
y2=[2x-(-4x^2-4c)^(1/2)]/2=x-(-x^2-c)^(1/2)
我是绝对会做的，（我是清华的）呵呵！
f是外函数，在康托集上取0，在其余集上取1。
g是内函数，单调的把类康托集映为康托集。把类康托集的余集映为康托集的余集。
（幸好我不是清华数学系的）
楼主言之有理，多谢指教！
唉，我又想不清楚了，这样的构造如何：
考虑A=[0,1]到B=[0,1]的映射g.
令A1=A-U1-U2-U3-U4-...-Un-...是A上的类康托集，其中U1,U2...是按长度从大到小排列(长度相同时按从左到右顺序）的从A里挖去的开区间。
类似的B1=B-V1-V2-V3-V4-...-Vn-...是B上的康托集，其中V1,V2...是按是长度从大到小排列的从B里挖去的开区间。
于是定义A1的余集A2到B1的余集B2上的映射g使得Vn->Un是一个一次函数。对于A1->B1,注意到A1中的点a是所有大于a的Un的并集Ua的下确界，定义它在映射g下的像为Ua的像Va的下确界。
于是这样的g是一个连续映射，并且把类康托集B1映为康托集A1.复合函数fg在A1上不连续，因而不可积。
在下外行，如果哪里想错了，还望不吝赐教。
g(x)=1,显然连续；
f(g(x))=1,不可积。 （+-无穷
或
【1】最简便的方法，用matlab解。
>> y=dsolve('(2*t-y)+(y-t)*Dy=0')
y =
[ t+(-t^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
[ t-(-t^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
即：
y=
[ x+(-x^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
[ x-(-x^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
【2】用scrodinger 的方法
2xdx+ydy-ydx-xdy=0
d(2x^2+y^2-2xy)=0
2x^2+y^2-2xy-c＝0
判别式＝4x^2-4*(2x^2-c)=-4x^2-4c
y1=[2x+(-4x^2-4c)^(1/2)]/2=x+(-x^2-c)^(1/2)
y2=[2x-(-4x^2-4c)^(1/2)]/2=x-(-x^2-c)^(1/2)
g(x)=1,显然连续；
f(g(x))=1,不可积。 （+-无穷）
我觉得就算无界照样可积阿
我中午看看书，在给你答复。概念忘了
再这里答题的除了有专业的老师，其余大多已经毕业好多年了（比如我），对于这种概念的深究已经忘得差不多了，如果身边没有书，很难回答你的问题。
对具体的积分题目我还可以解决，这种深究概念的题目，现在只能忘题兴叹，倒退6年我正在读书的时候可以帮你解决。
呵呵~~~~
请教2个小问题,微积分的
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