已知函数f(x)=ln(x+1)+ax 2 -x，a∈R．（1）当 时，求函数y=f(x)的极值；（2）是否存在实数b∈(0,1)，使

Question

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax 2 -x，a∈R．（1）当 时，求函数y=f(x)的极值；（2）是否存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在x=1处取到极小值为 ，在x=0处取到极大值为0；（2） ．

试题分析：（1）将 代入函数f(x)解析式，求出函数f(x)的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与 的符号及f(x)的单调性情况表，从表就可得到函数f(x）的极值；（2）由题意首先求得： ，故应按 分类讨论：当a≤0时，易知函数f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减,从而当b∈(0,1)时f(b)<f(0)，所以不存在实数b∈(0,1)，符合题意；当a>0时，令 有x=0或 ，又要按根 大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f(x）x∈(-1,b]的最大值，使其最大值恰为f(b)，分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在． 试题解析：（1）当 时， ， 则 ，化简得 （x>-1）     2分    列表如下： x (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增   ∴函数f(x)在(-1,0)，(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且f(0)=0， ， 4分 ∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为 ， 在x=0处取到极大值为0；      5分 （2）由题意 （1）当a≤0时，函数f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减, 此时，不存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)；      7分 （2）当a>0时，令 有x=0或 ， (ⅰ)当 温馨提示：内容为网友见解，仅供参考 当前网址：https://aolonic.com/aa/34ak13345kawand4w1.html 其他看法 无其他回答 相似回答 大家正在搜 奥礼网 - 免责声明 - 关于 - 联系 本页内容来自于网络，若涉及权益，请点击【举报该文章】 联系电邮