谁能清楚的告诉我二重积分到底怎么算

Answer 1

二重积分计算方法：化为二次积分。

1、直角坐标系中

当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσ=dxdy，从而二重积分可以表示为，

由此可以看出二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将上述二重积分化成两次定积分的计算，称之为：化二重积分为二次积分或累次积分。

①X型区域

设积分区域是由两条直线x=a，x=b（a<b），两条曲线  围成。可以表示  的区域称为X型区域，如图：

特点：穿过D内部且平行于y轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。

如图，对任意取定的x0∈[a，b]，过点（x0，0，0）作垂直于x轴的平面x=x0，该平面与曲顶柱体相交所得截面是以区间  为底，z=f（x0，y)为曲边的曲边梯形。

由于x0的任意性，这一截面的面积为  。

其中y是积分变量在积分过程中视x为常数。上述曲顶柱体可看成平行截面面积S（x）从a到b求定积分的体积，从而得到：

②Y型区域

积分区域  称为Y型区域。

特点：穿过D内部且平行于x轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。

称D为Y型区域，此时可采用先对x，后对y积分的积分次序，将二重定积分化为累次积分：

2、在极坐标中

有许多二重积分仅仅依靠直角坐标下化为累次积分的方法难以达到简化和求解的目的。当积分区域为圆域，环域，扇域等，或被积函数为  等形式时，采用极坐标会更方便。

在直角坐标系xOy中，取原点为极坐标的极点，取正x轴为极轴，则点P的直角坐标系（x，y）与极坐标轴（r，θ）之间有关系式：

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，

设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域，其面积为 ，可得到二重积分在极坐标下的表达式：

扩展资料

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

参考资料：百度百科-二重积分