直线与面所成角的正弦值怎么求，二面角的余弦怎么求

Question

1。
求PA与平面ACE所成角的正弦值。如果我用建立空间直角坐标系的方法求出了平面ACE的一
个法向量n1，那么可以求出向量PA（已知）与向量n1之间的余弦COSθ，那么所求的“PA与 平面ACE所成角的正弦值”是否就是这个算出来的COSθ？“PA与平面ACE所成角的正弦值”与所求出来的COSθ有什么关系？

2。
求二面角E-AC-D的余弦值。同样用建立空间直角坐标系的方法求出平面EAC的一个法向量n1，平面ACD的一个法向量n2，那么可以求出向量n1与向量n2之间的余弦COSθ，那么所求的“二面角E-AC-D的余弦值”是否就是这个算出来的COSθ？“二面角E-AC-D的余弦值”与所求出来的COSθ有什么关系。

Answer 1

cosθ=cos<n→,PB→>=(2√3+0+0)/[√(4+0+1)*√(3+1+0)]=2√3/2√5=√15/5。

当a>bsinA时：

①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；

②当b>a且cosA≤0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；

③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；

④当b=a且cosA≤0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）。

两根判别法：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值：

①若m(c1,c2)=2，则有两解；

②若m(c1,c2)=1，则有一解；

③若m(c1,c2)=0，则有零解（即无解）。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

Answer 2

1

向量PA（已知）与向量n1之间的余弦COSθ。这里COSθ可能﹢可能-。
但PA与平面ACE所成角一定是锐角。即PA与平面ACE所成角的正弦值一定为正
所求的“PA与平面ACE所成角的正弦值”不一定是这个算出来的COSθ。
关系是：所成角的正弦值=|COSθ| （COSθ的绝对值）
2
同样余弦COSθ，有+有-。
二面角E-AC-D的余弦值也有+有-。
所以这时，要多加上一步，判断二面角是钝角还是锐角。...这一步不能漏。
如为钝角。二面角E-AC-D的余弦值=-|COSθ|
如为锐角。二面角E-AC-D的余弦值=|COSθ|