高中与函数有关的数学题，求详解

Answer 1

第一问
和你写的一样通过讨论a的取值，来确定极值，因为exp(x)是恒大于零，所以讨论a是否大于零，然后和上面写的一样；
第二问
当遇到恒大于零的时候，经常把大于号前面的函数设为一个新的函数，然后对新函数求导，得出最小值对应的x值
对于这道题，就设g(x)=f(x)-x-b,
求导得 g(x)'=exp(x)-a-1 (a+1>0)
所以当x=ln(a+1) 时g(x)有最小值
由题意得 最小值大于等于零
最小值为a+1-a ln(a+1)-ln(a+1)-b>=0
即b<=(a+1)-(a+1) ln(a+1)
因为a+1>=0
所以 (a+1)b<=(a+1)^2*[1-ln(a+1)]
令h(x)=x^2*(1-lnx)
h(x)'=x*(1-2lnx)
当x=e^(1/2)时，h(x)有最大值
即(a+1)b=e^(1/2)^2*(1-ln e^(1/2))=e/2
即(a+1)b的最大值是 e/2

Answer 2

(1)解析：∵函数f(x)=e^x-ax(a∈R)
令f’(x)=e^x-a=0==>x=lna (a>0)
当a>0时，函数f(x)存在极值
f’’(x)=e^x>0
∴f(x)在x=lna处取极小值f(lna)=a-alna
(2)解析：∵f(x)>=x+b恒成立，
e^x-ax>=x+b
令g(x)=e^x-(a+1)x-b
令g’(x)=e^x-(a+1)=0==>x=ln(a+1)
当a<-1时，g’(x)>0，g(x)在定义域内单调增，在定义域内显然不满足题意
当a=-1时，g’(x)>0，g(x)在定义域内单调增；g(x)>-b
要满足题意，只须b<=0
当a>-1时，函数g(x)存在极值
∴g(x)在x=ln(a+1)处取极小值f(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1)-b
要满足题意，只须b<=(a+1)(1-ln(a+1))
∴b(a+1)<=(a+1)^2(1-ln(a+1))
∴b(a+1)的最大值为(a+1)^2(1-ln(a+1))