数学问题请帮帮我！（初二）

Question

已知a,b,c为非零实数且(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a，
求[(a+b)(b+c)(a+c)]/abc的值。
我求出有一个值为8，是否还有一个值，是多少？

Answer 1

所求为8或-1.
8有人求了，我求另1个。

解：为方便起见，设(a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b=k，于是有
a+b-c=kc，(1)
b+c-a=ka，(2)
c+a-b=kb，(3)
三式相加，化简得
a+b+c=k(a+b+c)，
由于a、b、c均为非零实数，即a+b+c不等于0，

就是这步错了！！a+b+c可能=0。
如果a+b+c=0，
a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b
[(a+b)(b+c)(a+c)]/abc
=-abc/abc
=-1
....................................
当a= b = c 时,答案为 8
当a =b ,c= -2a时 为 1
当a+b = -c时， 为 -1
答毕

楼上的1是错的，你自己把a =b ,c= -2a，代入式子就=-1。不是=1。
a =b ,c= -2a。其实还是a+b+c=0.

Answer 2

解：为方便起见，设(a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b=k，于是有
a+b-c=kc，(1)
b+c-a=ka，(2)
c+a-b=kb，(3)
三式相加，化简得
a+b+c=k(a+b+c)，
由于a、b、c均为非零实数，即a+b+c不等于0，于是两边同除以(a+b+c)，得到k=1，代入(1)，(2)，(3)式，并移项立得
a+b=2c， b+c=2a， c+a=2b，
将以上三式相乘，得
(a+b)(b+c)(c+a)=6abc，
(a+b)(b+c)(c+a)/abc=6abc/abc=6。
因此，(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值为6。

Answer 3

首先指出，前面两个答复是错误的，因为a+b+c可能为0.

原式等价于a/c+b/c=a/b+c/b=b/a+c/a.令a/c=x,b/c=y,则x+y=x/y+1/y=y/x+1/x.由前面式子得到(x+y)y=x+1,(y-1)x=1-y*y,当y=1时x+1=2/x,x=-2或1.此时a:b:c=-2:1:1或a:b:c=1:1:1,你要求的式子值为-1或8.当y不为1时，x=-1-y,这时a:b:c=-y-1:y:1,y任意.代入得到-1.

综上，所求为8或-1.

Answer 4

还有2个答案是 -1,1
由(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a
得
(a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a
==>
{ ab + b*b = ac + c*c ①
{ ab + a*a = bc + c*c ②
{ ac + a*a = bc + b*b ③
由①－②得
b*b - a*a = ac -bc
==> (b -a )( b + a ) = c(a - b)
当b≠a 时，a+b = -c,
当a = b时，c = a或者c = -2a <这个用①②可求>
同理②-③得.....
同理①-③得.....
当a= b = c 时,答案为 8
当a =b ,c= -2a时 为 1
当a+b = -c时， 为 -1
答毕
做个题目用了两分钟，写下来却用了二十分钟，天啊

Answer 5

没有了。
此式简化为：（a+b）/c=(a+c)/b=(c+b)/a
有前两式等号两侧乘bc:
ab+b*b=ac+c*c
a(b-c)=(b+c)(b-c)
c不为零，则有a=b+c或b=c
同理继续可知有唯一解a=b=c