大一微积分。求极限，红笔是老师过程，但是没听懂，可以再详细一点的过程吗？尤其第一步怎么变的，还有答

Question

大一微积分。求极限，红笔是老师过程，但是没听懂，可以再详细一点的过程吗？尤其第一步怎么变的，还有答案怎么得出来的？万谢！

Answer 1

将该式分子有理化，分母看做一，分子分母同时乘以你老师给你写的那个式子。分子有理化，分母有理化，是求极限的一种常用的方法，一定要吸收！

Answer 2

上面式子化为原来的式子除以1，变为分子式
然后后在上下同乘上面的式子只是中间符号变为减号就变成红色的式子了

Answer 3

lim[√(x^2+x+1)-√(x^2-x+1)]
=lim[√(x^2+x+1) - √(x^2-x+1)][√(x^2+x+1) + √(x^2-x+1)]/[√(x^2+x+1) + √(x^2-x+1)]
注：分子、分母同乘以 [√(x^2+x+1) + √(x^2-x+1)]
=lim[(x^2+x+1) - (x^2-x+1)]/[√(x^2+x+1) + √(x^2-x+1)]
=lim(2x)/[√(x^2+x+1) + √(x^2-x+1)]
=lim 2/[√(1+1/x+1/x^2) + √(1-1/x+1/x^2)]
=lim 2/[√(1+0+0) + √(1-0+0)]
=1

追问

1/X,1/X^2的极限都是0吗？为什么呢？

追答

因为 x →+∞ 时，1/x → 0。想想看，分母越大，它的值越小。

追问

哦，我已经知道了，谢谢，可以再问一题吗

追答

你尽管问，如果我知道的话一定回答。

追问

应该是分子分母有理化，但是我先有理化了分子，后面就不行了

还是求极限

追答

因为是 0/0 型的极限，可以使用罗必塔法则；

[√(2x+1)-3]' = 1/2* 1/√(2x+1) * 2 = 1/√(2x+1)

[√(x-2) -√2]' = 1/2 * 1/√(x-2) = 1/[2*√(x-2)]

所以，极限：

=lim[1/√(2x+1)]/{1/[2*√(x-2)]}

=lim[2*√(x-2)]/√(2x+1)

=lim[2*√(4-2)]/√(2*4+1)

=lim2√2/3

=2√2/3

追问

我没学过这种方法哎，可以分子分母分别有理化吗

追答

那只好分子、分母同乘以 [√(2x+1) + 3]*[√(x-2) +√2]，可以得到：
=lim[(2x+1)-9][√(x-2) +√2]/{[(x-2)-2]*[√(2x+1) +3]}
=lim2(x-4)*[√(x-2) +√2]/{(x-4)*[√(2x+1) +3] 注：分子、分母约去(x-4)
=2*lim[√(x-2) +√2]/[√(2x+1) +3]
=2*lim[√(4-2) +√2]/[√(2*4+1) +3]
=2*2√2/6
=2√2/3

追问

就是这个方法！谢谢你！

再教我一下27题第一问吧。。。感激不尽！

追答

lim[x+sin(x^2)]/x

=lim[1+sin(x^2)/x]

=1 + lim [sin(x^2)/x^2]*x     注：分子、分母同乘以 x

=1 + lim 1 * x                    注：sint/t 当 t → 0 时的极限为 1，则 sin(x^2)/x^2 的极限也为 1

=1    因此，x+sin(x^2) 与 x 是等价无穷小关系