因式分解中的对称式（轮换式）

Question

应用轮换式求解

Answer 1

在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.

二元对称式的基本对称式是x y,xy任何二元对称多项式都可用x y,xy表示,如x2 y2=(x y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x y表示,再行分解.

对称式的因式分解

在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.

例7分解因式x4 (x y)4 y4

分析 这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x y,xy任何二元对称多项式都可用x y,xy表示,如x2 y2=(x y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x y表示,再行分解.

解 ∵x4 y4

=(x y)4-4x3y-6x2y2-4xy2

=(x y)4-4xy(x y)2 2x2y2.

∴原式=(x y)4-4xy(x y)2 2x2y2 (x y)4

=2(x y)4-4xy(x y)2 2x2y2

=2[(x y)4-2xy(x y)2 (xy)2]

=2[(x y)2-xy]2-2(x2 y2 xy)2,

例8分解因式a2(b-c) b2(c-a) c2(a-b).

此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b) a2(b-c) b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.

因式定理 如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).

如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x 1)(x-2).

证明 设f(x)=anxn an-1xn-1 … a1x a0,

若f(a)=0,则

f(x)=f(x)-f(a)

=(anxn an-1xn-1 … a1x a0)

=(anan an-1an-1 … a1a a0)

=an(xn-an) an-1(xn-1-an-1) … a1(x-a),

由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),

∴(x-a)|f(x),

对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.

现在我们用因式定理来解例8.

解 这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c) b2(c-a) c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c) b2(c-a) c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.

∴a2(b-c) b2(c-a) c2(a-b)

=-(a-b)(b-c)(c-a).

例9分解因式a3(b-c) b3(c-a) c3(a-b).

分析 这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a b c，故可设a3(b-c) b3(c-a) c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a b c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a b c).