同济第七版高等数学的几种曲面积分求法

Answer 1

你好！第二类曲面积分的算法总结如下：

1：由于是有方向性的，所以有
“偶零奇倍”性质，跟一般情况相反的
F(x)是偶函数时，若Σ关于相应的面是对称的，一个部分取 +，一个部分取 -
结果就是F(x) - F(- x) = F(x) - F(x) = 0，两个部分互相抵消了
F(x)奇函数时，同样情况，一个部分取 +，一个部分取 -
结果就是F(x) - F(- x) = F(x) + F(x) = 2F(x)，两个部分的积分都相等，可叠加

2：三合一公式
对于Σ是z = z(x,y)形式的
法向量n = ± { - z'x，- z'y，1 }
则∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
= ± ∫∫_(D) { P(- z'x) + Q(- z'y) + 1 } dxdy
取上/右/前 侧时，取 + 号
取下/左/后 侧时，取 - 号

3：高斯公式
∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
= ± ∫∫∫_(Ω) (∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z) dxdydz
- ∫_(Σ和) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
后面(Σ和)那部分，若原本给的曲面是不能围成封闭空间的话，不能直接使用高斯公式，需要补上几个面后使得区域封闭，例如补上若干个(Σ和)曲面，就可以运用高斯公式了，还要注意最后要减少所补上那几个曲面(Σ和)相应的积分

4：挖洞
若在Σ上，被积函数上有奇点的话，也不能直接运用高斯公式
需要补上一个小空间r=ε，足以包括所有内部的奇点的，然后取半径ε趋向0
运用高斯公式时也要减去这个部分相应的积分
所以有∫∫_(Σ) = ± ∫∫∫_(Ω) - ∫∫_(ε)

5：替代
若被积函数f的方程是在Σ上，则可以优先把Σ的方程代入f中
例如给Σ方程：x²+y²+z²=a²
则∫∫_(Σ) (Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)/√(x²+y²+z²)
= ∫∫_(Σ) (Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)/a
= (1/a)∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
于是这样，就可以避免了4：的情况，不用挖洞
去掉奇点后就可以继续补面使用高斯公式了

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