高数二重积分题，设∑为上半球面z=√(a^2-x^2-y^2)的上侧，则∫∫∑xydydz+yz

Question

高数二重积分题，设∑为上半球面z=√(a^2-x^2-y^2)的上侧，则∫∫∑xydydz+yzdzdx+zxdxdy的值等于

Answer 1

解题过程如下图：

首先积分曲面关于xoz，yoz平面都是对称的，而被积函数（x＋y）分别是关于x，y的奇函数，所以∫∫（x＋y）＝0，原积分＝∫∫zds，而（z＇x）＾2＋（z＇y）＾2＋1＝x＾2／z＾2＋y＾2／z＾2＋1＝a＾2／z＾2，所以积分＝∫∫azdxdy／z＝a∫∫dxdy＝πa＾3

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

以上内容参考：百度百科-二重积分

Answer 2

解题过程如下图：

扩展资料

积分的线性性质

性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）。

性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外。

比较性

性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)

估值性

性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积。

性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。

Answer 3

高数曲面积 设∑球面x^2+y^2+z^2=a^2,则曲面积(x+y+z)^2ds=?
原式=∫∫(x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz)dS
=∫∫(x2+y2+z2)dS+∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS
=∫∫a 2dS +0+0+0
=a2 ?4πa2
=4πa^4
注：1、∫∫(x2+y2+z2)dS=∫∫a 2dS （利用曲面积曲面程代入）
2、∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS
=0+0+0 （利用曲面积称性）

Answer 4

补上底面后使用高斯公式：