怎么用配方法解一元二次方程？

Answer 1

解： 1、 配方法是什么？配方法，是数学中非常重要的一个方法。利用添项的手段，将原多项式配上适当的项，使多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法。具体一点说，就是一种将二次多项式ax²+bx+c化为一个一次多项式的平方与一个常数之和的方法。 我们的目的是要把方程的左边化为完全平方、形式如同 x ²+ 2xy + y²=(x + y)²。与ax²+bx+c比较可以推出：2xy = (b/a)x，y² = (b/2a)²
2、配方法的实际步骤如下：
① 方程两边同时除以 二次项系数 , 把二次项系数化为 1 ； ② 把常数项移到方程的右边； ③ 配方，就是在方程两边同时加上一次项系数的 一半 的 平方； ④ 将左边写成平方形式 ，右边合并 ； ⑤ 用直接开平方法，得到方程的解。
3、进一步用字母来表达，则过程如下：
∵ ∵ a≠0，
∴ 两边同时除以a ，得
x2+ bx/a+c/a=0
将常数项移到右边 x2+ bx/a=-c/a
两边同时加上（b/2a）²得
x²+2(bx/2a)+(b/2a)²=-c/a+(b/2a)²
左边化成平方形式 (x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²
∵a≠0，
∴4a²＞0，
当b²-4ac≥0时，两边直接开平方，得：
x+ b/ 2a =± √b2-4ac/ 2a ，
移项 得 x=-b/ 2a ± √(b2-4ac )/2a =[-b ± √(b2-4ac )]/2a
所以，方程有两个实数根：
∴x₁= [-b + √(b2-4ac )]/2a ，
x₂=[-b -√(b2-4ac )]/2a 。
经检验 ， x₁ 、x₂都符合方程，都是方程的根。
4、配方法的应用 用途很多，比如：
（1）、分解因式
利用配方法来分解因式，常常能将多项式配成A²-B²的形式,再用平方差公式分解。
例 分解因式 （a+b）⁴＋(a²-b²)²+(a-b)⁴
分析：题中实际上只含(a+b)和(a-b)两个式子，可分别运用"换元"方法，再进行配方。
设 a+b=m, a-b=n, 则
原式=m⁴+m²n²+n⁴=(m⁴+2m²n²+n⁴)-m²n²=(m²+n²)²-(mn)² =[(m²+n²)+mn][(m²+n²)-mn]
再反过来用(a+b)=m, (a-b)=n 代入， 得
原式=[（a+b）²+(a-b)²+(a+b)(a-b)][（a+b）²+(a-b)²-(a+b)(a-b)]
=(3a²+b²)(a²+3b²)
（2）解一元二次方程 例 2x²＋12x＋12=26
解; 化简得 x²＋6x＋6=13
配方得 x²＋6x＋9=16
(x＋3)²=16
两边同时开方 x＋3=±4
得 x₁=1, x₂=-7
(2)、求最值 例 已知实数x、y满足方程x²+3x+y-3=0，求（x+y）的最大值。
分析：可将y用含有x的式子来表示，再代入(x+y)，求值。
解：x²+3x+y-3=0 移项得 y=3-3x-x²，
代入(x+y)，得 x+y=x+(3-3x-x²)=-(x²+2x-3)=-[(x+1)²-4]=4-(x+1)²。
显然 (x+1)²≥0， 故4-(x+1)²≤4，即(x+y)的最大值为4。
（3）、证明”非负性“问题
例 求证 a²+2b+b²-2c+c²-6a+11 ≥ 0
解： 可以将11拆开成9+1+1，从而得 a²+2b+b²-2c+c²-6a+11
=(a²－6a＋9)＋(b²+2b＋1)+(c²－2c＋1)
=(a-3)²+(b+1)²+(c-1)²≥0 证明完毕。
(4)、 求抛物线的顶点坐标
例 求y=6x²+12x-6的顶点坐标。
解：y=6(x²+2x-1)=6(x²+2x-1+1-1)=6(x+1)²-12
这条抛物线的顶点坐标是（-1，-12）。