三道数学题目,如打得好有追加！！！！！！

Question

20. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a, b是常数且a≠0)满足条件f(2)=0且方程f(x)＝x有等根.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) 问是否存在实数m, n (m＜n), 使f(x)的定义域和值域分别为[m, n]和[2m, 2n].如果存在, 求出m, n的值; 如果不存在, 说明理由.

21. 已知a＞b＞c＞0, 方程x^2－(a+b+c)x+ab+bc+ca=0.
(1) 若该方程有实数根, 求证a, b, c不能成为一个三角形的三边长;
(2) 若x0为方程的一个实根, 求证b+c＜x0＜a.

22. 设函数f(x)=x^2+bx+c, 方程f(x)－x=0的两个实根为x1, x2, 且x2－x1＞2.
(1) 求证x1, x2为方程f[f(x)]=x的两根;
(2) 若四次方程f[f(x)]=x的另两根为x3, x4且x3＞x4, 试判断x1, x2, x3, x4的大小.

Answer 1

20. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a, b是常数且a≠0)满足条件f(2)=0且方程f(x)＝x有等根.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) 问是否存在实数m, n (m＜n), 使f(x)的定义域和值域分别为[m, n]和[2m, 2n].如果存在, 求出m, n的值; 如果不存在, 说明理由.

解：由f（2）=0得4a+2b=0,方程f(x)＝x有等根.得到：ax^2+(b-1)x=0有等根，因此判别式=0.由两个方程联立可以得到a=-1/2,b=1.故f（x）解析式是f（x）=-1/2x^2+x
(2)分类讨论：对称轴是x=1
若1=<m<n 有函数的单调性可知：
2m=f(n)=-1/2n^2+n 2n=-1/2m^2+m
两式子相减得到2(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=6 m^2-6m+24=0 m，n无解；
若m<n<=1 又单调性知 2m=-1/2m^2+m 2n=-1/2n^2+n
此时m=-2 n=0满足条件；
若m<1<n 由于此时函数的最大值必为X=1时取到为1/2；
所以 2n=1/2 所以 n=1/4 这与n>1矛盾
综合上述 存在这样的m，n
m=-2 n=0

21. 已知a＞b＞c＞0, 方程x^2－(a+b+c)x+ab+bc+ca=0.
(1) 若该方程有实数根, 求证a, b, c不能成为一个三角形的三边长;
(2) 若x0为方程的一个实根, 求证b+c＜x0＜a.

解：判别式>=0，整理得：a^2+b^2+c^2>=2ab+2ac+2bc
a,b,c能构成三角形，应该满足ab+ac+bc=<a^2+b^2+c^2=<2ab+2ac+2bc,具体怎么证忘了，再想一下阿

22. 设函数f(x)=x^2+bx+c, 方程f(x)－x=0的两个实根为x1, x2, 且x2－x1＞2.
(1) 求证x1, x2为方程f[f(x)]=x的两根;
(2) 若四次方程f[f(x)]=x的另两根为x3, x4且x3＞x4, 试判断x1, x2, x3, x4的大小.

解：（1)因为方程f(x)－x=0的两个实根为x1, x2，故x1，x2使得f（x）=x，即x1，x2满足f[f(x)]=f[x]=x,因此x1, x2为方程f[f(x)]=x的两根.

实际上x1，x2是f（x）的不动点，
（2）x1<x4<x3<x2

Answer 2

小伙子数学题还是得自己想办法啊，很简单的：
20. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a, b是常数且a≠0)满足条件f(2)=0且方程f(x)＝x有等根.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) 问是否存在实数m, n (m＜n), 使f(x)的定义域和值域分别为[m, n]和[2m, 2n].如果存在, 求出m, n的值; 如果不存在, 说明理由.

解：由f（2）=0得4a+2b=0,方程f(x)＝x有等根.得到：ax^2+(b-1)x=0有等根，因此判别式=0.由两个方程联立可以得到a=-1/2,b=1.故f（x）解析式是f（x）=-1/2x^2+x
(2)分类讨论：对称轴是x=1
若1=<m<n 有函数的单调性可知：
2m=f(n)=-1/2n^2+n 2n=-1/2m^2+m
两式子相减得到2(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=6 m^2-6m+24=0 m，n无解；
若m<n<=1 又单调性知 2m=-1/2m^2+m 2n=-1/2n^2+n
此时m=-2 n=0满足条件；
若m<1<n 由于此时函数的最大值必为X=1时取到为1/2；
所以 2n=1/2 所以 n=1/4 这与n>1矛盾
综合上述 存在这样的m，n
m=-2 n=0

21. 已知a＞b＞c＞0, 方程x^2－(a+b+c)x+ab+bc+ca=0.
(1) 若该方程有实数根, 求证a, b, c不能成为一个三角形的三边长;
(2) 若x0为方程的一个实根, 求证b+c＜x0＜a.

解：判别式>=0，整理得：a^2+b^2+c^2>=2ab+2ac+2bc
a,b,c能构成三角形，应该满足ab+ac+bc=<a^2+b^2+c^2=<2ab+2ac+2bc,具体怎么证忘了，再想一下阿

22. 设函数f(x)=x^2+bx+c, 方程f(x)－x=0的两个实根为x1, x2, 且x2－x1＞2.
(1) 求证x1, x2为方程f[f(x)]=x的两根;
(2) 若四次方程f[f(x)]=x的另两根为x3, x4且x3＞x4, 试判断x1, x2, x3, x4的大小.

解：（1)因为方程f(x)－x=0的两个实根为x1, x2，故x1，x2使得f（x）=x，即x1，x2满足f[f(x)]=f[x]=x,因此x1, x2为方程f[f(x)]=x的两根.

实际上x1，x2是f（x）的不动点，
（2）x1<x4<x3<x2

Answer 3

上面回答的还不好呀

Answer 4

我就补充一下21题的证明吧！

由该方程有实根可知判别式>=0，整理得：a^2+b^2+c^2>=2ab+2ac+2bc

a^2+b^2-2ab>=2ac+2bc-c^2

(a-b)^2>=2c(a+b)-c^2

因为a+b>=c,所以

(a-b)^2>=c^2

因为a>b>c>0,所以

a-b>=c 所以就不能够成三角形的三边