五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共

Question

5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有（　　）种不同的站法．

A. 42

B. 44

C. 46

D. 48

Answer 1

方法一：设原来站在第i个位置的人是（i=1，2，3，4，5），
重新站队时，站在第2个位置的站法有4!种，其中不符合要求的有：站第3位的3!种，站第4位的3!种，
但有的站法在考虑的情形时已经减去了，故只应再算（3!-2!）种，
同理，站第5位的应再算[3!-2!（2!-1!）]种，
站在第3，4，5位的情形与站在第2位的情形时对等的，
故所有符合要求的站法有：4{4!-3!-（3!-2!）-[3!-2!-（2!-1!）]}=44（种），
方法二：首先我们把人数推广到 n个人，即n个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上．设满足这样的站队方式有a _n 种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：
第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有n-1种站法．
第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的n-2个人有a _n-2 种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，…，第n个人不站在第n个位置，所以有a _n-1 种站队方式．
由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列a _n 的递推关系式：
a _n =（n-1）×（a _n-1 +a _n-2 ），显然，a ₁ =0，a ₂ =1，a3=2，a ₄ =9，a ₅ =44，有44种排法
故选：B．