齐次和非齐次常微分方程的通解有什么区别？

Answer 1

非齐次线性常微分方程的通解公式可以表示为：

\[ y(t) = y_h(t) + y_p(t) \]

其中，\(y(t)\) 是方程的解，\(y_h(t)\) 是对应齐次线性常微分方程的通解（即其对应的齐次方程的解），而\(y_p(t)\)是非齐次方程的特解。

对于齐次线性常微分方程：
\[ \frac{d^2y}{dt^2} + a\frac{dy}{dt} + by = 0 \]

其通解公式为：
\[ y_h(t) = c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t} \]

其中，\(c_1\) 和 \(c_2\) 是任意常数，而 \(r_1\) 和 \(r_2\) 是齐次方程的特征根（解析解）。特征根的求解方法取决于齐次方程的阶数和系数。

对于非齐次线性常微分方程：
\[ \frac{d^2y}{dt^2} + a\frac{dy}{dt} + by = f(t) \]

其中，\(f(t)\) 是给定的非齐次项（通常是已知函数），我们需要找到一个特解 \(y_p(t)\) 来满足非齐次方程。特解的形式取决于 \(f(t)\) 的具体形式，通常使用待定系数法或者常数变易法来求解。

将特解 \(y_p(t)\) 和齐次解 \(y_h(t)\) 相加，得到非齐次方程的通解 \(y(t)\)。